Гауссов пучок в резонаторе (большие апертуры зеркал).

Приведенные выше рассуждения основывались на том, что задан некий гауссов пучок с определенным и для этого пучка (для двух выбранных на его оси точек) подбираются зеркала, осуществляющие отражение пучка самого в себя. В действительности, однако, первичным фактором является не пучок, а зеркала; именно зеркала Армируют гауссов пучок, воспроизводящийся при отражениях.

Рассмотрим резонатор длиной образованный двумя зеркалами с радиусами кривизны (левое зеркало) и (правое зеркало) и с достаточно большими апертурами. Обозначим через расстояния от плоскости перетяжки формируемого в данном резонаторе гауссова пучка до левого и правого зеркал соответственно (рис. 2.54, в). С учетом

(2.9.2) и (2.9.3) запишем следующую систему уравнений для определения

Исключая, например получаем отсюда

Будем полагать что

Тогда из (2.9.5) следует

Аналогично находим

Подставляя (2.9.7а) в (2.9.3), находим выражение для определения радиуса пучка в плоскости его перетяжки

Для определения радиуса пучка на зеркалах резонатора для левого и для правого зеркала) воспользуемся соотношением (2.7.18), которое в данном случае принимает вид

Используя (2.9.8), находим

Если резонатор симметричен то

Рис. 2.55

Результат для перепишем, используя параметр

Таким образом, в симметричном резонаторе

Из (2.9.12) следует, что параметр должен удовлетворять условию так как только для этих значений величина положительна (рис. 2.55). Легко видеть, что возрастает (при заданной длине резонатора) с увеличением параметра т. е. с увеличением радиуса кривизны зеркал.

Фактически мы подошли к вопросу о том, в каких именно резонаторах может формироваться гауссов пучок. На примере симметричных резонаторов видно, что резонаторы, являющиеся неустойчивыми или не формируют гауссовых пучков. Строго говоря, гауссовы пучки не реализуются также в резонаторах, находящихся на границах области устойчивости: в плоскопараллельном и концентрическом Невозможность воспроизведения гауссова пучка в этих резонаторах физически очевидна.

Возвращаясь к общему случаю несимметричных резонаторов, будем исходить из основополагающих соотношений (2.9.2) и (2.9.3). Для существования в резонаторе воспроизводящегося гауссова пучка необходимо, чтобы правые части этих соотношений были положительными, т. е. чтобы выполнялись неравенства

Подставляя (2.9.7а) в любое из неравенств (2.9.13), получаем

Итак, необходимо, чтобы выполнялось неравенство

Переходя к параметрам запишем это неравенство в виде

Отсюда следует

Неравенства (2.9.15) можно рассматривать как необходимое условие существования в резонаторе воспроизводящегося гауссова пучка.

Сопоставляя (2.9.15) с условием устойчивости резонаторов (2.4.14), заключаем, что в неустойчивых резонаторах гауссовы пучки не реализуются. Кроме того, они не лизуются также в резонаторах, находящихся на границе области устойчивости (когда либо ). Исключение (и притом очень важное!) составляет конфокальный резонатор