ПРИЛОЖЕНИЕ 3. УСТОЙЧИВАЯ И НЕУСТОЙЧИВАЯ СФЕРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ В НЕУСТОЙЧИВОМ РЕЗОНАТОРЕ

Пусть — решение уравнения (2.10.20а). Это уравнение имеет вид

Добавим к малое возмущение . В результате двойного прохода излучения по резонатору исходное возмущение превратится в возмущение определяемое соотношением

Если то это означает, что возмущение затухает по мере того, как излучение проходит по резонатору; следовательно, решение уравнения (П.3.1) — устойчивое. При возмущение, напротив, нарастает, что указывает на неустойчивость решения.

Преобразуем (П.3.2):

Используя (П.3.1) и учитывая, что находим отсюда

Таким образом,

Как известно, уравнение (П.3.1) имеет два решения:

Верхний знак относится к решению (2.10.22а), а иижний — к (2.10.226). Используя (П.3.4), преобразуем правую часть соотношения (П.3.3):

Если , то

Следовательно, при решение (2.10.22а) является устойчивым, а решение (2.10.226) — неустойчивым.

При имеет место противоположная ситуация.