2.7. Гауссовы пучки
Общие замечания; пространственная форма гауссова пучка.
Для описания структуры поля светового пучка, формируемого в устойчивом резонаторе, широко применяется модель гауссова пучка. Для гауссовых пучков характерно быстрое уменьшение амплитуды поля при удалении от
Рис. 2.41
Рис. 2.42
оси пучка; амплитуда уменьшается в соответствии с функцией Гаусса 
(рис. 2.41). Параметр 
играет роль эффективного радиуса пучка.
Простейший тип гауссова пучка соответствует основной поперечной моде. Зависимость модуля амплитуды поля основной моды от поперечных координат полностью описывается функцией Гаусса:
В случае мод более высокого порядка амплитуда поля гауссова пучка выражается обычно через произведение функции Гаусса и полиномов Эрмита (т. е. через полиномы Эрмита — Гаусса):
На рис. 2.42 схематически показана определяемая параметром 
пространственная форма гауссова пучка внутри некоторого резонатора. Величина радиуса пучка 
изменяется по длине резонатора (вдоль оси пучка). В некоторой точке оси радиус пучка принимает минимальное значение; будем обозначать его через 
Опорная плоскость, проведенная через эту точку, называется плоскостью перетяжки пучка (или «горловиной пучка»); см. заштрихованное сечение на рис. 2.42. Будем рассматривать радиус пучка в функции от расстояния 
отсчитываемого от перетяжки пучка. Ниже будет показано, что
Рис. 2.43
Соотношение (2.7.3) есть уравнение поверхности, ограничивающей в пространстве поле гауссова пучка; эту поверхность называют каустической поверхностью или, короче, каустикой. Она представляет собой гиперболоид вращения. Сечение этого гиперболоида плоскостью, проходящей через оси пучка, имеет форму гиперболы; см. толстые линии на рис. 2.42.
Штриховыми прямыми на рис. 2.42 показаны асимптоты гиперболы. Обозначим через 
угол между асимптотой и осью пучка. Чтобы найти этот угол, следует предварительно привести уравнение (2.7.3) к каноническому виду
Сравнивая (2.7.4) с (2.7.3), заключаем, что 
Тангенс угла 
есть отношение 
таким образом,
Предполагается, что рассматриваемые здесь гауссовы пучки обладают симметрией вращения вокруг оси пучка (круговые гауссовы пучки). Такие пучки формируются в резонаторах, образованных идеальными сферическими зеркалами, при условии, что внутри резонатора нет каких-либо элементов, нарушающих симметрию вращения вокруг оптической оси. На практике, однако, сферичность зеркал резонатора может нарушаться или даже сознательно не соблюдаться (астигматические резонаторы). Кроме того, внутри резонатора могут находиться элементы, нарушающие его симметрию вращения, например, наклонные плоскопараллельиые пластинки, в частности окна Брюстера газоразрядной трубки. В подобных случаях световой пучок имеет в поперечном сечении не круглую, а эллиптическую форму; такие пучки называют эллиптическими. На рис. 2.43 схематически показана форма эллиптического гауссова пучка в астигматическом резонаторе.
Теория гауссовых пучков рассмотрена в [22, 32, 34, 35, 17]; см. также [4, 7, 15]. В монографии [17] наряду с круговыми рассмотрены также эллиптические гауссовы пучки.
