Преобразование гауссова пучка в линзовой системе.

Гауссов пучок (рис. 2.50) распространяется от плоскости до плоскости и проходит при этом через линзу с фокусным расстоянием — расстояние от до линзы, — расстояние от линзы до Сначала пучок преобразуется в свободном пространстве от до линзы; согласно (2.8.7)

Затем пучок преобразуется в линзе; согласно (2.8.8)

или

Рис. 2.50

Наконец, пучок Преобразуется в свободном пространстве от линзы до согласно (2.8.7)

Объединяя (2.8.9) — (2.8.11), получаем следующее правило для преобразования пучка при его распространении от плоскости (параметр пучка до плоскости (параметр пучка

Закон ABCD — закон преобразования гауссовых пучков в линзовых системах. Любое преобразование гауссова пучка в линзовой системе может быть представлено в виде

где — соответственно начальный и конечный параметры пучка. Матрица описывает систему, обеспечивающую рассматриваемое преобразование пучка.

Так, преобразованию пучка в свободном пространстве протяженности отвечает матрица (ср. (2.8.7) и (2.8.13))

Преобразованию пучка в линзе с фокусным расстоянием отвечает матрица (ср. (2.8.10) и (2.8.13))

Преобразованию пучка в линзовой системе, показанной на рис. 2.50, отвечает матрица (ср. (2.8.12) и (2.8.13))

Если преобразование гауссова пучка есть последовательность нескольких преобразований, то его матрица представляет собой произведение матриц составляющих преобразований, записанных в порядке, обратном порядку, в каком выполняются эти преобразования. Легко убедиться, например, что

Выражаемый соотношением (2.8.13) закон ABCD позволяет легко находить правило преобразования гауссова пучка в произвольной линзовой системе. АВСО-матрица соответствующего преобразования определяется как произведение матриц типа (2.8.14) и (2.8.15), записанных в определенном порядке. Принимая во внимание аналогию между линзовыми волноводами и открытыми резонаторами, можно распространить закон ABCD и на резонатор, при условии, что рассматриваются резонаторы, в которых световые пучки являются гауссовыми. Матрица, описывающая

Рис. 2.51

преобразование гауссова пучка при его отражении от сферического зеркала с радиусом кривизны имеет вид

который формально следует из (2.8.15), если

Сопоставляя результаты, полученные в данном параграфе, с результатами, полученными в § 2.4 при рассмотрении преобразований светового луча, нетрудно обнаружить интересную аналогию между оптикой гауссовых пучков и геометрической оптикой. Дело в том, что используемая в законе ABCD для гауссовых пучков -матрица, описывающая некоторую оптическую систему, совпадает с описывающей эту же систему матрицей передачи светового луча. Эта матрица выражается через произведение записанных В определенном порядке «элементарных» матриц (для свободного пространства, линзы, сферического зеркала), имеющих одинаковый вид как в геометрической оптике, так и в оптике гауссовых пучков. Можно получить -матрицу, рассматривая поведение световых лучей в оптической системе, и затем применить эту матрицу к гауссовым пучкам. Собранные в табл. 2.4 матрицы передачи луча используются при рассмотрении гауссовых пучков.

Впрочем аналогию между лучевой оптикой и оптикой гауссовых пучков не следует преувеличивать. Аналогия имеет место лишь постольку, поскольку речь идет о виде

Рис. 2.52

АВCD-матрицы для рассматриваемой оптической системы. Что же касается характера выполняемого -матрицей преобразования, то он различен для луча и гауссова пучка. Преобразование луча описывается выражением (2.4.16), тогда как гауссов пучок преобразуется в соответствии с законом описываемым выражением (2.8.13); см. рис. 2.51.

В заключение заметим, что закон применим также при распространении гауссова пучка в среде, показатель преломления которой изменяется в поперечном к оптической оси направлении по квадратичному закону

Для сред с произвольным (неквадратичным) законом изменения показателя преломления закон неприменим. Он неприменим также в случаях, когда необходимо принимать во внимание аберрации линз. Во всех этих случаях в результате преобразования световой пучок перестает быть гауссовым [7].