Выявление структуры фазового портрета лазера.

Характерные черты структуры фазового портрета лазера в режиме свободной генерации можно выявить, не решая уравнения (3.3.26), Для этого надо прежде всего исследовать поведение фазовых траекторий вблизи особой точки, соответствующей стационарной генерации (точка А на рис. 3.15). Конкретно: надо линеаризовать систему балансных уравнений в окрестности особой точки и, рассмотрев корни получающегося характеристического уравнения, выявить тип особой точки [87]. Указанная программа действий обсуждается в приложении 5, где, в частности, рассматриваются шесть типов особых точек.

Линеаризация системы уравнений (3.2.53) вблизи особой точки (3.3.27) приводит к следующей системе уравнений:

Здесь , причем Системе (3.3.29) отвечает характеристическое уравнение

корни которого имеют вид (ср. с (3.3.17))

Поскольку, как отмечалось ранее, справедливо неравенство

то, следовательно,

Корни характеристического уравнения являются в данном случае комплексными с отрицательной вещественной частью. Это означает (см. приложение 5), что мы имеем здесь особую точку типа устойчивый фокус. Поведение фазовых траекторий вблизи особой точки такого типа показано на рис. П.5.1.г, приведенном в приложении 5 (ср. с рис. 3.15).

Итак, мы выяснили характер поведения фазовых траекторий вблизи особой точки с координатами Далее, исходя из вида уравнения (3.3.26), можно сделать ряд дополнительных заключений о структуре фазового портрета:

а) прямая (т. е. ось абсцисс на фазовой плоскости) является одной из возможных фазовых траекторий;

б) поскольку , то наклон фазовых траекторий должен быть велик везде на фазовой плоскости, за исключением областей, примыкающих к прямым

в) во всех точках прямой касательная к фазовой траектории должна быть горизонтальной

Суммируя все сделанные выше замечания, нетрудно придти к структуре фазового портрета, изображенной на рис. 3.15. При этом надо лишь воспользоваться дополнительной информацией о том, что в режиме свободной генерации справедливы неравенства

Анализ картины пульсаций на основе балансных уравнений.

Рассматривая этап линейного развития генерации первого пичка (на рис. 3.15 ему соответствует участок фазовой траектории), учтем, что связи с этим пренебрежем величиной

в правой части второго уравнения (3.2.53); в результате придем к следующей системе балансных уравнений:

Полагая, что момент есть момент начала генерации получаем, выполнив интегрирование второго уравнения (3.3.35),

Величина V изменяется от нуля до (напомним: есть длительность рассматриваемого этапа генерации; см. рис. 3.16). Поскольку (см. табл. 3.2), то можно положить после чего получаем из (3.3.36)

Таким образом, на участке фазовой траектории плотность инверсной заселенности возрастает со временем линейно-, именно поэтому этап развития генерации, отвечающий данному участку фазовой траектории, называют линейным.

С учетом (3.3.37) перепишем первое уравнение (3.3.35) в виде Интегрируя это уравнение от нуля до , находим

Исключая время из (3.3.37) и (3.3.38), приходим к выражению

Подставляя в получаем оценку для

Подставляя получаем оценку для

Чтобы воспользоваться полученными соотношениями, надо знать народу с параметрами и а также параметр Для оценки следует воспользоваться системой уравнений (3.2.56), учитывающей вклад спонтанного излучения в интенсивность поля (величиной во втором уравнении упомянутой системы можно пренебречь). Приближенное выражение для имеет вид [4]

Заметим, что хотя величина и весьма мала (см. табл. 3.2), однако учет ее принципиально важен при рассмотрении возникновения генерации. Предположим, что спонтанные переходы (и вообще флуктуации) отсутствуют, так что в этом случае изображающая точка будет перемещаться все время по фазовой траектории, совпадающей с осью абсцисс, т. е. по прямой Спонтанные переходы необходимы, чтобы, обеспечив хотя и очень

малую, но все же отличную от нуля величину тем самым «столкнуть» изображающую точку с траектории на одну из фазовых траекторий, которые при возрастании уходят вверх на фазовой плоскости. Следовательно, наличие спонтанных переходов принципиально важно, поскольку при этом качественно изменяется характер движения изображающей точки на фазовой плоскости.

Далее рассмотрим этап генерации, которому соответствует на рис. 3.15 участок b — с фазовой траектории. Используя переменную и учитывая при этом, что перепишем исходную систему балансных уравнений (3.2.53) в виде

Отсюда следует

и, следовательно,

(интегрирование выполняется на участке фазовой траектории) Принимая во внимание, что , получаем из (3.3.44

Этот результат может быть представлен с учетом (3.3.40) в виде

Используя второе уравнение (3.3.43), можно получить оценку для времени которое характеризует длительность этапа генерации, отвечающего участку фазовой траектории (ииаче говоря, эффективную длительность пичка):