Учет дифракции на крае зеркала; эквивалентное число Френеля.

Строгое рассмотрение потерь в неустойчивых резонаторах основано на использовании интегральных уравнений типа (2.6.20) (см., например, [39, 41, 42]). Такое рассмотрение показывает, что получающийся в рамках геометрической оптики результат (2.10.15) является приближенным. В действительности потери зависят от произведения апертур зеркал; с изменением величина потерь колеблется около геометрооптического значения.

На рис. 2.67 приведены результаты расчета потерь на основе итерационного метода [45]. Вычисления проводились для симметричных резонаторов апертуры зеркал выбирались в виде бесконечных полос шириной . Представленные на рисунке кривые описывают зависимость потерь Г от числа Френеля для разных значений параметра . Там же для сравнения показаны штриховыми линиями результаты, получающиеся на основе геометрического рассмотрения [38].

Наблюдаемое на рис. 2.67 периодическое изменение потерь при изменении связано с краевым эффектом —

Рис. 2.68

дифракцией излучения на крае зеркала ([40, 42]; см. также [44]).

Обратимся в связи с этим к рис. 2.68, на котором показан краевой луч превращающийся при отражении в луч Дифракция на крае зеркала приводит к тому, что кроме основной отраженной волны, представленной на рисунке лучом возникает дополнительная дифрагированная волна, представленная на рисунке лучами Периодическое изменение потерь при изменении можно объяснить, рассматривая интерференцию излучения расходящейся волны, падающего на край зеркала, и излучения дифрагированной волны, распространяющегося навстречу расходящейся волне. Для взаимного усиления рассматриваемых излучений надо, чтобы путь от точки волнового фронта до края зеркала и обратно (см. рисунок) был кратен длине волны где — целое число. В этом случае сдвиг фазы дифрагированной волны относительно фазы волны, падающей на край зеркала, будет кратен

Расстояние (расстояние от до ) можно представить в виде

Поскольку то

Таким образом,

Используя (2.10.5) и учитывая, что получаем

Теперь условие принимает вид

Из (2.10.27) следует, что изменение свойств неустойчивого резонатора с изменением числа Френеля должно характеризоваться периодом, равным Кривые на рис. 2.67 подтверждают это заключение (см. кривые для ).

Величину

называют эквивалентным числом Френеля. Согласно (2.10.27) потери неустойчивого резонатора должны иметь одно и то же значение для эквивалентных чисел Френеля, различающихся на любое целое число. Нетрудно убедиться (см. (2.10.11)), что

Для борьбы с краевым эффектом в неустойчивых резонаторах принимают меры к уменьшению интенсивности дифрагированной волны. Для этого используют зеркала со сглаженным краем, т. е. зеркала, у которых коэффициент отражения спадает на краю не скачком, а плавно — в пределах зоны шириной не менее Зеркала со сглаженным краем ослабляют зависимость потерь от апертуры зеркал; при этом геометрооптическое рассмотрение потерь в неустойчивом резонаторе становится более корректным.