ПРИЛОЖЕНИЕ 5. ОСОБЫЕ ТОЧКИ ДВУМЕРНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Предположим, что динамическая система описывается некоторой нелинейной системой уравнений:
где 
— функции от времени 
являющиеся динамическими параметрами систем.
Пусть 
и 
— координаты одной из особых точек системы. Рассматривая окрестность этой особой точки, представим
где 
и 
— величины первого порядка малости. Подставляя (П.5.2) в (П. 5.1) и отбрасывая члены второго и более высоких порядков малости, получаем вместо (П.5.1) линейную систему уравнений:
Решение 
(и аналогично 
) этой системы ищем в виде
где 
— корни характеристического уравнения
Возможны шесть качественно разных ситуаций, соответствующих шести разным типам особых точек. На рис. П.5.1 приводится вид фазовых портретов в окрестности этих точек:
— рис. П.5.1, а соответствует особой точке типа устойчивый узел (в этом случае корни 
вещественные и отрицательные);
— рис. П.5.1, б соответствует особой точке типа неустойчивый узел (корни 
вещественные и положительные);
— рис. П.5.1, в соответствует особой точке типа седло (корни 
вещественные и имеют разные знаки);
— рис. П.5.1, г соответствует особой точке типа устойчивый фокус (корни 
комплексные, причем их вещественные части отрицательны);
Рис. П.5.1.
— рис. П.5.1, д соответствует особой точке типа неустойчивый фокус (корни 
комплексные, причем их вещественные части положительны);
— рис. П.5.1, е соответствует особой точке типа центр (корни 
мнимые).
На рис. П.5.1, а, г состояние системы 
изображаемое особой точкой, является устойчивым: любое произвольное «сталкивание» системы из этого состояния приведет к попаданию на фазовую траекторию, неизменно возвращающую систему в исходное состояние. На рис. П.5.1, б, в, д, напротив, состояние системы, изображаемое точкой, является неустойчивым: произвольное малое возмущение выводит систему на траекторию, которая уведет ее еще дальше от исходного состояния. На рис. П.5.1, е можно говорить об устойчивости изображаемого особой точкой состояния в том смысле, что при достаточно малых возмущениях система оказывается на одной из фазовых траекторий вблизи исходного состояния.
