Система дифференциальных уравнений, описывающая процесс установления режима синхронизации мод.

Выполняя указанную выше процедуру и используя при этом уравнение баланса для коэффициента усиления, можно получить следующую систему дифференциальных уравнений [136]:

Здесь — начальное и насыщенное усиление; — средняя мощность в режиме синхронизации мод и параметр насыщения активной среды (последний есть мощность, при которой усиление уменьшается вдвое); вероятность релаксации верхнего рабочего уровня; относительная расстройка частоты модулирующего сигнала. Упомянутое выше уравнение баланса для коэффициента усиления есть четвертое уравнение в системе (3.12.10) (ср. со вторым уравнением в системе (3.2.53)).

Приравнивая нулю производные в (3.12.10), получаем систему уравнений для стационарного режима синхронизации мод. Для иллюстрации на рис. 3.67 приведены стационарные параметры типичного лазера с синхронизацией мод. Параметры рассматриваются в зависимости от величины расстройки частоты модулирующего сигнала определяемой соотношением

где

Индекс относится к оптимальному режиму синхронизации мод, при котором импульс проходит модулятор в момент нулевых потерь.

Система (3.12.10) позволяет определить области неустойчивости режима синхронизации мод по отношению к малым возмущениям путем исследования на устойчивость стационарного решения системы. Характеристическое уравнение системы (3.12.10) имеет вид

Для выявления областей неустойчивости рассматриваемого режима надо определить области, где положительна вещественная часть хотя бы одного из корн ей уравнения (3.12.11). Эти корни могут быть представлены в виде Зависимости Для лазера представлены на рис. 3.68. Области значений соответствующие заштрихованным

Рис. 3.67

площадям под графиками являются областями неустойчивости режима синхронизации мод. Из рисунка видно, что допустимые значения расстройки X (при которых режим синхронизации мод устойчив к возмущениям) весьма малы. Поэтому на практике необходимо довольно жестко стабилизировать частоту модулирующего сигнала и оптическую длину резонатора либо использовать системы автоподстройки.

Приведем качественные соображения, объясняющие появление областей неустойчивости режима синхронизации мод. Допустим, что Тогда увеличение будет приводить к росту потерь из-за того, что импульсы будут проходить модулятор в моменты времени, все далее отстоящие от момента нулевых потерь (будет расти Это приведет к уменьшению и к дальнейшему возрастанию расстройки и сдвига по фазе . В результате с увеличением уменьшается (частота как бы «убегает» вниз, а не остается на месте), что эффективно увеличивает расстройку. Этот эффект соответствует внутренней положительной обратной связи, которая и приводит к потере устойчивости режима синхронизации мод. Генерация имеет в этом случае вид хаотических пичков.

Тот же механизм при соответствует отрицательной обратной связи. Казалось бы, он должен был стабилизировать работу лазера. Однако, как известно (см. [68]), существует сдвиг фазы между малыми колебаниями потерь и усиления в активном элементе, зависящий от частоты колебаний и изменяющийся вблизи резонансной частоты на величину, близкую к 180°. В результате отрицательная обратная связь на частотах вблизи резонансных частот становится положительной и приводит к неустойчивости режима синхронизации мод.