Уравнения Статца — Де Марса.

При выводе системы усредненных балансных уравнений (3.2.32) использовались определенные предположения относительно схемы уровней активного центра. В более общем виде (не зависящем от выбора конкретной схемы уровней) балансные уравнения были сформулированы Статцем и Де Марсом еще в 1960 г. [69]. Система уравнений Статца—Де Марса имеет следующий вид:

Искомыми функциями являются здесь плотность инверсной заселенности (как и в (3.2.32)) и плотность числа фотонов на частоте генерации Величина легко выражается через плотность светового потока Действительно, поделив на скорость распространения излучения I», получим плотность излучения; поделив затем на энергию фотона придем к плотности числа фотонов Таким образом,

В уравнения Статца—Де Марса входят следующие постоянные параметры: — коэффициент Эйнштейна для вынужденных переходов в канале генерации, помноженный на энергию фотона; Т — определяемое совокупностью вредных и полезных потерь время жизни фотона в резонаторе (согласно (2.3.10), это время следующим образом выражается через добротность резонатора: — время продольной релаксации (релаксации разности заселенностей уровней); — вероятность

изменения разности заселенностей уровней за счет релаксационных процессов; целое число, описывающее изменение разности заселенностей рабочих уровней при излучении одного фотона; равновесная плотность инверсной заселенности в отсутствие генерации (физическое содержание этого параметра подробнее обсудим ниже).

Уравнения Статца—Де Марса имеют наглядное физическое объяснение. Первое уравнение означает, что плотность числа фотонов в резонаторе растет в результате вынужденных переходов в канале генерации (за счет преобладания индуцированного испускания над резонансным поглощением) и убывает благодаря наличию потерь в резонаторе. Скорость возрастания равна произведению плотности инверсной заселенности на отнесенную к единице времени вероятность вынужденных переходов . С учетом (3.2.35) имеем , следовательно, рассматриваемая скорость равна что и отражено в первом уравнении Статца—Де Марса. Что же касается скорости убывания плотности числа фотонов то она равна т. е. обратно пропорциональна добротности резонатора. Заметим, что величина весьма просто выражается через коэффициенты вредных и полезных потерь:

Второе уравнение Статца—Де Марса означает, что плотность инверсной заселенности убывает в процессе индуцированного испускания и возрастает благодаря преобладанию эффекта накачки над эффектом очищения верхнего рабочего уровня в результате релаксационных процессов. Скорость убывания равна а скорость возрастания равна

Необходимо более подробно обсудить параметр названный выше равновесной плотностью инверсной заселенности в отсутствие генерации. Предположим, что обеспечены условия, заведомо исключающие возникновение генерации (например, разъюстирован резонатор). Пусть в этих условиях действует накачка постоянной мощности. Если бы отсутствовали релаксационные процессы (отсутствовало бы спонтанное очищение уровней), то в рассматриваемой ситуации плотность инверсной заселенности должна была бы расти до тех пор, пока все активные центры не перейдут на верхний рабочий уровень Однако

релаксационные процессы всегда имеют место; поэтому функция возрастая, будет стремиться к некоторому постоянному значению (меньшему, чем при котором эффект возрастания за счет накачки и эффект уменьшения за счет релаксационных процессов оказываются взаимно скомпенсированными. Указанное значение плотности инверсной заселенности и есть Подчеркнем: чем больше мощность накачки, тем, очевидно, больше значение при котором реализуется отмеченная выше компенсация. По этой причине называют также параметром накачки.

Заметим, что второе уравнение Статца—Де Марса имеет, как легко видеть, решение если положить в нем (генерация отсутствует) и (накачка и процессы релаксации скомпенсированы).

Иногда предпочитают (см., например, [54, 59, 68]) использовать вместо и функции функции описывают плотность энергии излучения (на частоте генерации), запасенной в поле внутри резонатора и в инвертированных активных центрах соответственно. В этом случае систему уравнений Статца—Де Марса (3.2.34) записывают в виде

Здесь