Матрица передачи светового луча.

Плоскость, проведенную перпендикулярно оптической оси (-оси) на некотором расстоянии от начала координат, будем называть опорной плоскостью Световой луч, пересекающий опорную плоскость характеризуется двумя параметрами: расстоянием от оптической оси и тангенсом угла наклона к оси . В параксиальном приближении параметр может рассматриваться просто как угол наклона луча к оси. Чтобы описать преобразование луча при его распространении от опорной плоскости до опорной плоскости надо указать правило перехода от параметров к параметрам

На рис. 2.20 изображены два луча и отмечены две опорные плоскости. Из рисунка хорошо видно, в каких случаях тот или иной параметр луча положителен, а в каких отрицателен.

Рассматривая преобразование луча при его распространении от одной опорной плоскости до другой, будем обозначать исходную опорную плоскость через (параметры луча ), а конечную — через (параметры луча Преобразование луча при распространении от до описывается соотношениями

или в матричной форме

Матрицу называют матрицей передачи луча (матрицей преобразования луча).

Рис. 2.21

Предположим, что световой луч проходит свободное пространство протяженностью (рис. 2.21, а). В этом случае

Сравнивая (2.4.17) с (2.4.15), заключаем, что Таким образом,

— обозначение матрицы передачи луча для свободного пространства протяженностью

Вид матрицы не зависит от выбора светового луча. Рассмотрим, например, луч, показанный на рис. 2.21, б. В этом случае

Легко видеть, что эта система уравнений эквивалентна системе (2.4.17).

Преобразование светового луча в тонкой собирающей линзе иллюстрирует рис. 2.22, а. С учетом уравнения тонкой линзы (2.4.1) можем записать

Таким образом, матрица передачи луча для тонкой линзы с фокусным расстоянием имеет вид

Если линза собирающая, а если рассеивающая, то

Рис. 2.22

Преобразование луча при последовательном прохождении сначала свободного пространства протяженностью а затем тонкой линзы с фокусным расстоянием иллюстрирует рис. 2.22, б. Легко видеть, что

или

Таким образом, матрица передачи луча в рассматриваемом случае (обозначим ее как ) имеет вид

Такой же результат получается, если матрицу умножить на матрицу

Следовательно,

Итак, матрица, отвечающая двум последовательно выполненным преобразованиям, равна произведению матриц соответствующих преобразований. Правило перемножения матриц передачи луча распространяется и на более сложные системы.

Рис. 2.23

Предположим, например, что световой луч проходит через систему тонких линз, показанную на рис. 2.23.

Луч проходит слева направо — от опорной плоскости до опорной плоскости

Матрица преобразования светового луча от до определяется как произведение элементарных матриц передачи, какими являются матрицы типа

Подчеркнем, что порядок следования сомножителей в правой части соотношения (2.4.24) противоположен порядку, в каком выполняются преобразования над световым лучом (как если бы правая часть соотношения (2.4.24) читалась в обратном порядке — не слева направо, а справа налево). Это обстоятельство обнаруживается уже в (2.4.23).

Сделанное замечание весьма существенно, так как произведение матриц не обладает свойством коммутативности. Что же касается ассоциативного закона, то он для произведения матриц выполняется. Поэтому можно по-разному выполнять парные перемножения матриц. Так, например, матрицы в (2.4.24) можно перемножить по схеме

а можно выбрать схему

или схему

или иную схему. Важно лишь, чтобы порядок расположения матриц в произведении оставался определенным — таким, как показано в соотношении (2.4.24).

В табл. 2.4 приведены шесть матриц передачи луча. Первые три были рассмотрены выше. Последние три (описывающие преломление луча на границе двух сред) читатель может рассмотреть самостоятельно. В заключение

(кликните для просмотра скана)

Рис. 2.24

отметим, что для всех матриц передачи луча выполняется соотношение

где — показатель преломления среды, в которой находится исходная, а — конечная опорная плоскость.

Соотношение (2.4.25) выражает свойство обратимости хода световых лучей.