Применение закона ABCD к неустойчивым резонаторам.
Более общее и элегантное геометрооптическое рассмотрение неустойчивых резонаторов могло бы быть проведено на основе использования закона ABCD.
Легко убедиться, что закон ABCD применим к сферическим волнам. Радиус кривизны волнового фронта гомоцентрического пучка преобразуется при распространении в свободном пространстве протяженностью 
согласно очевидному соотношению (рис. 2.63):
Тонкая линза с фокусным расстоянием 
изменяет радиус кривизны сферического фронта согласно соотношению
Сопоставляя (2.10.17) и (2.8.2), (2.10.18) и (2.8.8), заключаем, что в идеальных линзовых системах (включая системы со сферическими зеркалами) параметр 
гомоцентрического пучка преобразуется точно так же, как параметр 
гауссова пучка. Иначе говоря, закон ABCD, описываемый для гауссовых пучков соотношением (2.8.13), может быть применен к радиусу кривизны волнового фронта 
гомоцентрического пучка:
Ъыделим внутри неустойчивого резонатора опорную плоскость Р на расстоянии 
от левого зеркала. Обозначим для этой плоскости: 
— радиус кривизны фронта сферической волны, распространяющейся от правого зеркала к левому; 
— радиус фронта волны, распространяющейся в обратном направлении. Радиусы 
и
Рис. 2.63
Рис. 2.64
могут быть найдены из условия воспроизводимости поля за двойной проход резонатора:
Здесь 
— матрица двойного прохода резонатора, начиная от плоскости Р к левому зеркалу (рис. 2.64, а), а 
— матрица двойного прохода резонатора, начиная от плоскости Р к правому зеркалу (рис. 2.64, б):
Ограничимся случаем, когда обход резонатора совершается так, как это показано на рис. 2.64, а (иными словами, ограничимся уравнением (2.10.20а). Уравнение (2.10.20а) имеет следующие два решения:
Можно показать, что одно из решений является устойчивым (малое возмущение радиуса фронта 
затухает по мере распространения волны по резонатору), а другое — неустойчивым. Устойчивое решение описывает расходящуюся сферическую волну, а неустойчивое — сходящуюся. Если 
то устойчивая (расходящаяся) волна есть (2.10.22а), а если 
то (2.10.226).
АВСD-матрица двойного прохода резонатора, показанного на рис. 2.64, а, читателю известна — она описывается выражением (2.4.28). Пусть 
(опорная плоскость касается правого зеркала). В этом случае матрица (2.4.28) принимает вид
Матрица (2.10.23) позволяет определить радиус кривизны фронта световой волны сразу после отражения от правого зеркала, т. е., иначе говоря, позволяет найти расстояние 
от правого зеркала до центра сферической волны, распространяющейся в резонаторе от правого зеркала к левому. В рассматриваемом случае
Предположим, что речь идет о неустойчивых резонаторах, для которых 
, следовательно, 
Устойчивая (расходящаяся) волна в таких резонаторах
Рис. 2.65
описывается выражением (2.10.22а). Используя (2.10.23), находим из (2.10.22а)
Этот результат был получен ранее; см. (2.10.4).
