Дифференциальные уравнения для плотности инверсной заселенности (трехуровневый и четырехуровневый лазеры).
Рассмотрим трехуровневую схему, изображенную на рис. 3.8. На схеме используются обозначения: 
— вероятность вынужденных переходов в канале генерации (канале 2—1), 
— вероятность вынужденных переходов в канале 1—3
Рис. 3.8
(вероятность переходов, инициированных излучением накачки), 
— вероятность спонтанных переходов в канале генерации, 
— вероятности спонтанных переходов соответственно в каналах 1—3 и 2—3 (все вероятности отнесены к единице времени). Обозначим через 
плотность заселенности 
уровня, а через 
полное число активных центров в единице объема. Балансные уравнения для заселенностей 
имеют следующий вид:
(заметим, что 
это совершенно естественно, поскольку сумма 
от времени не зависит). Вычитая первое уравнение (3.2.7) из второго, находим
Далее воспользуемся так называемым двухуровневым упрощением: будем полагать, что на уровне 3 активные центры практически не накапливаются (попадая на уровень 3, они быстро покидают его, переходя в основном на уровень 2). Это означает, что выполняются условия
При выполнении этих условий трехуровневая схема становится похожей на двухуровневую (в этом случае 
).
Используя (3.2.9), преобразуем третье уравнение (3.2.7)
С учетрм (3.2.9) и (3.2.10) перепишем (3.2.8):
Будем полагать, что 
Учитывая, что 
можно принять 
, следовательно, 
.
В результате уравнение (3.2.11) принимает вид
или окончательно
Обратимся к схеме четырех уровней, где оптическая накачка осуществляется в канале 
а генерация — в канале 2—1. При этом будем, как и в случае трехуровневой схемы, использовать двухуровневое упрощение, в связи с чем будем полагать, что после попадания на уровень
3. активные центры быстро переходят на метастабильный уровень 
кроме того, будем полагать, что нижний рабочий уровень 1 быстро очищается (скорость перехода 
достаточно велика). В рамках такого упрощения нетрудно получить следующее дифференциальное уравнение для плотности инверсной заселенности 
(в данном случае 
Здесь 
и 
— вероятности вынужденных переходов в каналах генерации и накачки соответственно; 
— вероятность спонтанных переходов в канале генерации.
