Гауссов пучок как решение параболического уравнения.

Выражение (2.7.21) описывает поле основной моды. Имея в виду последующее обобщение результатов на моды высоких порядков, покажем на примере основной моды, что гауссов пучок является решением параболического уравнения.

Хорошо известно волновое уравнение для монохроматической электромагнитной волны, распространяющейся в свободном от зарядов пространстве:

Представим амплитуду волны и в виде

Подставляя (2.7.23) в (2.7.22), приходим к уравнению

Полагая, что функция относительно слабо зависит от координаты z, так что справедливо неравенство

преобразуем уравнение (2.7.24) к виду

Это уравнение называют параболическим.

Убедимся, что функция , имеющая вид (см.

является решением параболического уравнения (2.7.26). Подставляя (2.7.27) в (2.7.26), получаем

Это равенство должно иметь место при любых . Отсюда следует, что должны выполняться равенства

Используя (2.7.19) и (2.7.20), нетрудно убедиться, что равенства (2.7.28) действительно выполняются.