Рис. 2.57
Используя закон ABCD для гауссовых пучков (2.8.13), находим параметр 
пучка, получающийся в результате рассматриваемого двойного прохода резонатора:
Поскольку при двойном проходе резонатора структура пучка должна воспроизводиться, то, следовательно,
Подставляя (2.9.24) в (2.9.23), получаем уравнение для определения параметра 
пучка в выбранной опорной плоскости Р
Параметр 
— комплексный, поэтому уравнение (2.9.25) эквивалентно системе двух уравнений, позволяющих найти в выбранном поперечном сечении резонатора радиус светового пучка и радиус кривизны его волнового фронта. Представим
где согласно (2.7.19)
Подставляя (2.9.26) в (2.9.25), находим
Таким образом,
Принимая во внимание, что 
представим решение системы уравнений (2.9.28) в виде
С учетом (2.9.27) получаем окончательно
В § 2.4 была получена АBCD-матрица для двойного прохода «пустого» резонатора от произвольно выбранной опорной плоскости (2.4.28). Используя эту матрицу, нетрудно получить соотношения (2.9.7), определяющие положение плоскости перетяжки внутри резонатора.
Выберем плоскость перетяжки пучка в качестве опорной плоскости, от которой будет производиться обход резонатора. Поскольку в этой плоскости 
то согласно (2.9.29) матрица двойного прохода должна обладать свойством
Используя результат (2.4.28), перепишем (2.9.30) в виде (с заменой 
на 
Нетрудно убедиться, что это равенство эквивалентно соотношению (2.9.5).
параметр гауссова пучка на некоторой опорной плоскости Р, выбранной внутри резонатора. Предположим, что преобразование пучка при его распространении от левого зеркала резонатора (радиус кривизны зеркала 
) до плоскости Р описывается 
-матрицей, а от плоскости Р до правого зеркала (радиус кривизны 
-матрицей (рис. 2.57). Мысленно совершим двойной проход резонатора — от Р к левому зеркалу и далее, как показано на рисунке стрелками. ABCD-матрица такого прохода может быть представлена произведением
