Лазер как распределенная автоколебательная система.

Более строгий подход к динамике лазера, учитывающий развитие процессов не только во времени, но и в пространстве, основывается на использовании уравнений Максвелла для описания излучения и квантовомеханических уравнений для описания вещества (так называемая полуклассическая теория — см., например, [1, 4, 75]). В рамках такого подхода удается восполнить основные «пробелы» метода балансных уравнений — учесть фазовые соотношения и рассмотреть интерференционные явления в резонаторе многомодового лазера. Полуклассический подход позволяет проанализировать динамику многомодовых и прежде всего двухмодовых лазеров [17, 75—77].

Целесообразно хотя бы в общих чертах продемонстрировать полуклассический подход к динамике многомодового лазера; при этом лазер может рассматриваться как автоколебательная система с распределенным отрицательным сопротивлением (см. [75]), а также [78, 79]). Ограничимся рассмотрением одномерной задачи, полагая, что излучение распространяется строго по оси резонатора (по оси ) и что изменением поля в поперечном к оси направлении можно пренебречь. В этом случае волновое уравнение для составляющей вектора напряженности электрического поля имеет следующий вид для пустого резонатора без потерь:

Представим в виду суммы по продольным модам:

где — длина резонатора. Соотношение (3.2.59) учитывает граничные условия Подставляя (3.2.59) в (3.2.58), получаем

где

При учете потерь в резонаторе надо дополнить левую половину уравнения (3.2.60) слагаемым где — добротность моды. В случае активного резонатора в рассматриваемом уравнении появляется еще одно слагаемое; оно выражается через величину электрической поляризации играющей роль источника поля, распределенного по оси Это слагаемое имеет вид [781

Таким образом, вместо (3.2.60) имеем следующее уравнение, описывающее продольную моду в активном резонаторе с потерями:

Функции представляют в виде

где — медленно меняющиеся за период амплитуда и фаза моды; функции также полагаются медленно меняющимися. Выражения (3.2.62) подставляют в (3.2.61) и отбрасывают члены со вторыми производными медленно меняющихся функций. Затем приравнивают нулю коэффициенты при и при в отдельности и пренебрегают слагаемыми, содержащими Учитывая, что можно принять равным получают в итоге следующие уравнения для амплитуды и фазы моды:

Их называют укороченными уравнениями, а также самосогласованными уравнениями.

На следующем этапе выражают поляризацию (точнее, функции через амплитуды мод. При этом используют квантовомеханическое описание вещества активного элемента при помощи матрицы плотности. Для относительно небольших напряженностей поля в резонаторе (вблизи порога самовозбуждения) зависимость от амплитуд мод может быть представлена в виде [78].

где — некоторые коэффициенты, зависящие от степени инверсной заселенности уровней, времени релаксации верхнего и нижнего рабочих уровней, ширины линии поглощения. Физический смысл этих коэффициентов обсуждается в [78]; для газового лазера они рассчитаны в [75]. С учетом (3.2.64) укороченные уравнения (3.2.63) принимают вид

Нетрудно видеть, что коэффициент есть коэффициент усиления для моды. Условие самовозбуждения моды имеет вид Коэффициенты играют роль коэффициентов связи, описывающих взаимодействие мод.