Условие устойчивости для линзового волновода с чередующимися линзами.

Выведем для параметров линзового волновода (параметров условие, при котором волновод является устойчивым. Предварительно напомним уравнение тонкой линзы, для чего обратимся к рис. 2.17. Два параллельных световых луча, образующих угол а с оптической осью , проходят через линзу и фокусируются в точке А фокальной плоскости. Полагаем углы а и а достаточно малыми, так что (параксиальное приближение). В этом случае (см. рисунок). Таким образом,

Это и есть уравнение тонкой линзы. Оно выражает разность углов наклона луча к оси после и до прохождения линзы через фокусное расстояние и расстояние у от точки встречи луча с линзой до оптической оси.

Рассмотрим линзовый волновод, в котором фокусные расстояния линз чередуются: Прохождение светового луча по такому волноводу показано на рис. 2.18. Используя (2.4.1), запишем

Рис. 2.18

Из чисто геометрических соображений следует (см. рис. 2.18), что

Вычитая (2.4.4) из (2.4.5) и учитывая (2.4.2), находим

Вычитая (2.4.5) из (2.4.6) и учитывая (2.4.3), находим

Заменим в (2.4.8) на и затем сложим получившееся соотношение с (2.4.8); получим

Подставляя в это выражение результат (2.4.7), приходим к уравнению, связывающему положения луча только на четных линзах (линзах с фокусным расстоянием

Нетрудно убедиться, что такой же вид будет иметь уравнение, связывающее положения луча на нечетных линзах.

Решение уравнения (2.4.9) может быть представлено в виде

Чтобы определить параметр подставим первое слагаемое из правой части (2.4.10) в уравнение (2.4.9); получим

Устойчивость волновода означает, что при любых значения (как и ) должны оставаться в пределах ограниченной области вблизи нуля; следовательно, параметр должен быть вещественным (в противном случае в (2.4.10) появится слагаемое, неограниченно возрастающее с ростом Если параметр вещественный, то . Таким образом, для устойчивого волновода соотношение принимает вид

Отсюда следует условие устойчивости волновода: — которое может быть записано в виде