Усредненные балансные уравнения (скоростные уравнения).

При работе с балансными уравнениями используют еще одно упрощение. Это упрощение связано с выполнением усреднения плотности инверсной заселенности и плотности светового потока по длине активной среды (точнее: по длине резонатора). Предварительно представим

Складывая первые два уравнения (3.2.18) и учитывая (3.2.21), находим

Интегрируем это равенство по длине активной среды

Используя скобки для обозначения усредненных функций , перепишем (3.2.22) в виде

При выполнении усреднения предполагалось, что свойства активной среды пространственно однородны, так что ни а, ни не зависит от координаты

Можно показать (см., например, что при рассмотрении реальных ситуаций хорошо работает приближенное соотношение:

С учетом (3.2.24) запишем уравнение (3.2.23) в виде

Легко видеть, что выходящая из резонатора плотность светового потока есть

Используя коэффициент полезных потерь (см. § 2.1), можно представить в виде

где, напоминаем,

Сравнивая (3.2.27) и (3.2.26), заключаем, что

после чего уравнение (3.2.25) может быть переписано в виде

Таким образом, усреднение длине активной среды позволяет существенно упростить систему балансных уравнений. Вместо системы трех уравнений в частных производных мы имеем теперь систему двух усредненных уравнений:

Усредненные балансные уравнения называют также скоростными уравнениями.

Поскольку ниже будут использоваться, как правило, только усредненные балансные уравнения, то знак усреднения в дальнейшем может быть опущен; рассматривая функции от времени, входящие в балансные уравнения, будем полагать, что пространственное усреднение уже выполнено. Учитывая это замечание и вводя обозначение

перепишем систему усредненных балансных уравнений для трехуровневого лазера (3.2.30) в следующем виде:

Для четырехуровневого лазера второе уравнение в системе (3.2.32) следует заменить уравнением