Интегральное уравнение Фокса — Ли.

Фокс и Ли предложили итерационный метод отыскания поперечных мод открытого резонатора [30]. Пусть на левом зеркале резонатора задано некое произвольное поле и Подставляя это поле в (2.6.6), вычисляют поле на правом зеркале. Затем опять используют соотношение (2.6.6), подставляя в интеграл вычисленное поле . В результате находят поле на левом зеркале, обусловленное полем на правом зеркале. Применяя снова соотношение (2.6.6), возвращаются к правому зеркалу и находят для него поле обусловленное полем на левом зеркале. И так далее. Фокс и Ли показали, что после достаточно большого числа проходов по резонатору от одного зеркала к другому структура поля, т. е. его зависимость от поперечных координат, начинает воспроизводиться, повторяясь за каждый проход излучения по резонатору. Это означает, что после достаточно большого числа проходов поле на поверхности зеркал начинает описываться функцией и, являющейся решением следующего интегрального уравнения (интегральное уравнение Фокса—Ли):

Не зависящий от поперечных координат комплексный множитель у учитывает сдвиг фазы поля за проход (включая чисто геометрический набег фазы на расстоянии описываемый в у множителем а также уменьшение амплитуды и поля вследствие потерь в резонаторе.

Предположим, что левое зеркало отражает в направлении правого зеркала световую мощность

Из-за наличия потерь в резонаторе правое зеркало будет отражать назад, к левому зеркалу, меньшую световую мощность:

С каждым проходом по резонатору мощность, отражаемая зеркалом, будет уменьшаться (ее величина будет умножаться всякий раз на см. рис. 2.29. Доля световой мощности, теряемой за один проход, есть

Обозначим

Полагая, что потери за проход малы, представим:

В этом случае линейный коэффициент потерь