В. Пути расширения области приложений преобразований Фурье. Преобразование Лапласа.

При представлении функции в виде интеграла Фурье и при записи входящей в его выражение спектральной плотности (формулы (2.8) и было отмечено, что этими формулами можно пользоваться при условии, что функция абсолютно интегрируема (формула (2.10)). Абсолютно интегрируемая функция должна быть исчезающей, т.е. должно выполняться условие при Для некоторых функций, с которыми приходится иметь дело при изучении систем управления и связи, это условие не соблюдается. К таким функциям принадлежат рассмотренные в гл. I внешнее воздействие в виде единичного скачка и внешнее воздействие, представляющее собой неограниченные по времени гармонические колебания.

В некоторых случаях преобразования Фурье могут быть выполнены, хотя функция не является исчезающей, а следовательно, и не является абсолютно интегрируемой. При этом выражение спектральной плотности получается следующим образом. Заданная функция временно заменяется другой, связанной с ней так, как будет показано, функцией , которая абсолютно интегрируема и для которой формулы (2.8) и (2.9) правомочны. Для функции находится ее спектральная плотность и путем предельного перехода получается выражение спектральной плотности для исходной функции . Для получения развернутого выражения интеграла Фурье сначала в формулу (2.8) подставляется вместо функция производится интегрирование и уже после этого выполняется указанный предельный переход.

Проиллюстрируем примером нахождение таким способом спектральной плотности для функции не являющейся абсолютно интегрируемой. Рассмотрим функцию отличающуюся только масштабом от единичного скачка: вместо единицы берется величина С, Заметим эту функцию функцией для которой при условие (2.10) выполняется. Для функции спектральная плотность находится

по формуле (2.29):

Производя интегрирование, получаем

Спектральная плотность находится теперь как предел при

Интеграл в правой части (2.57) отличается от интеграла в формуле спектральной плотности функции (в приведенном примере было тем, что в подынтегральную функцию входитр вместо Замена под знаком интеграла мнимой величины комплексной величиной может иметь при должном выборе более общее значение, чем это следует из рассмотренного частного примера. Выражения

и

называются соответственно односторонним и двусторонним преобразованием Лапласа. При замене преобразования Фурье преобразованием Лапласа, являющимся, как Следует из вышесказанного, его разновидностью, в вещественная часть берется такой, чтобы существовало соответствующее из выражений (2.60) и (2.61).

Основное значение для теории управления и связи имеет одностороннее преобразование (2.60). Его и будем иметь в виду, говоря дальше о преобразовании Лапласа.

Исходную функцию часто называют оригиналом, а соответствующую функцию его лапласовым изображением или просто изображением. Взаимное их соответствие обозначается следующим образом: Для отвечающего функции преобразования будем пользоваться также обозначением указывающим на то, что изображение является уже не функцией времени а функцией комплексной переменной

Формулами (2.60) и (2.61) определяется прямое преобразование Лапласа. В результате обратного преобразования Лапласа получается

В табл. 2.1 указаны изображения некоторых функций, каждая из которых при равна нулю.

Таблица 2.1 (см. скан)

Обычное преобразование Фурье и преобразование Лапласа имеют свои особенности, существенные для приложений. Применяя первое из них, оказывается возможным перейти от пространственно-временного к спектрально-частотному представлению функций и указать рассматриваемую в § 4 методику расчета частотных характеристик, имеющих большое практическое значение. Для преобразования Фурье возможно наглядное физическое истолкование, что будет показано, когда будет идти речь об опытном определении частотных характеристик. Преобразование Лапласа, не являющееся столь наглядным, в ряде случаев позволяет, однако, обходить затруднения, обусловленные тем, что исходная функция не является абсолютно интегрируемой.

В большей части свойства преобразования Лапласа и преобразования Фурье аналогичны. Сходным является и доказательство соответствующих положений. Поэтому не будем его здесь приводить и ограничимся тем, что перечислим свойства преобразования Лапласа. Вывод указываемых ниже формул читатель легко проделает самостоятельно, вспомнив доказательства, которые были приведены для преобразования Фурье в § 2.

Для функции

Для функции

Теорема запаздывания формулируется здесь так. Для функции , запаздывающей на величину относительно функции

Теорема смещения формулируется следующим образом. Если оригиналом служит функция где произвольное комплексное число, то ее изображение

Теорема свертывания в данном случае имеет следующий вид. Если

то

Для первой производной функции

для производной той же функции

где значения соответственно при отвечающие начальным условиям рассматриваемого процесса.

При нулевых начальных условиях, когда в первом случае а во втором, кроме этого, соответствующими формулами являются формулы

Изображение определенного интеграла