Г. Периодическое повторение конфигурации расположения нулей и полюсов при лапласовом изображении дискретизированной непрерывной функции.

Рассмотрим пример, являющийся характерным для области управления и связи. Переходные процессы в системах, движение которых описывается линейными дифференциальными уравнениями, могут быть представлены как сумма экспонент вида где есть полюс передаточной функции системы. При передаточной функции, указанной в гл. II (см. с. 65), величины в выражениях были вещественными, в других случаях они могут быть и комплексными, попарно сопряженными. Вообще же может быть и так, что числитель передаточной функции тоже является полиномом, содержащим члены с разными степенями и в общем случае существенны как нули, так и полюсы передаточной функции.

Ограничимся тем, что сравним лапласовы изображения отдельно взятой функции и лапласово изображение функции получаемой при дискретизации Выводы, которые при этом будут сделаны, можно будет распространить на общий случай лапласова изображения рассматриваемых передаточных функций.

Лапласовым изображением исходной непрерывной функции является, согласно табл. 2.1,

Первоначально функцию представим в виде

где интервал дискретизации и значения изменяются от до

Выполним преобразование Лапласа для общего члена ряда (3.8). Принимая во внимание теорему запаздывания (2.65) и то, что получим

Изменяя и от до можно получить таким же образом лапласовы изображения всех членов ряда (3.8). При этом представит собой бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем прогрессии Считаем, что Используя формулу суммы членов геометрической прогрессии, приходим к тому, что

Тогда как для лапласова изображения (3.7) исходной непрерывной экспоненты имеется один-единственный полюс лапласово изображение (3.9) дискретизированной экспоненты имеет полюсы в точках для которых а следовательно, при как это было для исходной непрерывной экспоненты, и, кроме этого, при т.е. при