Б. Особые свойства дискретизированных функций.

С переходом от исходной функции к дискретизированной функции кардинальным образом изменяется ее спектральное представление. Этот вопрос имеет принципиальное значение.

Вместо одного, показанного на рис. 3.2,а спектра непрерывной функции при ее дискретизации получается последовательность периодически повторяющихся спектров. В зависимости от частоты дискретизации (от того, какой взята величина интервала дискретизации) получаются для дискретизированной функции множественные спектры, показанные на рис. 3.2, б, 3.2, в или 3.2,г. Спектр первого из указанных видов получается при малой частоте дискретизации (при больших интервалах дискретизации г). Спектры же, изображенные на рис. 3.2,в и 3.2,г, получаются при соответственно большей и еще большей частоте дискретизации. При представленном на рис. 3.2, б наложении спектров оказывается практически невозможным восстановление спектра исходной непрерывной функции по спектру дискретизированной функции При спектрах, изображенных на рис. 3.2, в и 3.2, г, это уже является возможным. Нужно лишь применить фильтр, пропускающий основную часть спектра и подавляющий все другие его составляющие.

Показанные на рис. 3.2,б, 3.2,в и 3.2, г спектры связаны следующим образом с исходным спектром

При имеем При изменении от до спектры дискретизированного сигнала периодически повторяются со смещением по оси частот на Размерность отличается от размерности так как измеряется в единицах времени. Различными в связи с этим являются масштабы по оси ординат для графиков, изображенных на рис. 3.2,а и на следующих позициях рис. 3.2.

В гл. II была отмечена тесная связь между преобразованиями Фурье и Лапласа и была введена в рассмотрение передаточная функция, представляющая собой отношение лапласовых изображений выходной и входной координат системы Т Обычно передаточная функция характеризуется расположением на комплексной плоскости ее нулей и полюсов (подробнее об этом будег сказано в разделе настоящего параграфа). При дискретизации исходной функции происходит периодическое повторение конфигурации нулей и полюсов передаточной функции со смещением ее вдоль мнимой оси каждый раз тоже на величину Например, при изображенном на рис. 3.2,д (взятом в рамку) исходном расположении на комплексной плоскости нулей (кружки) и полюсов (крестики) данная конфигурация нулей и полюсов периодически повторяется, как показано на этом рисунке.

В разделах поясняется, почему при дискретизации непрерывной функции получается указанное выше периодическое повторение спектров;

Рис. 2.2

на примере показывается, почему получается при дискретизации функции периодическое повторение расположения ее полюсов.

Ранее было сказано о том, что дискретизация непрерывной функции должна производиться так, чтобы по дискретизированной функции могла быть восстановлена исходная непрерывная функция. Было также сказано о том, что это возможно, если не происходит наложения спектров, появляющихся при дискретизации. Граничным в этом отношении является расположение спектров, иллюстрируемое рис. 3.2, е. Возникает вопрос о том, как при известной предельной круговой частоте исходного спектра (или при соответствующей ей угловой частоте ) следует выбрать величину интервала дискретизации для того, чтобы не происходило наложения спектров и получалось показанное на рис. 3.2, в относительное их расположение. Ответ на этот вопрос дает теорема отсчетов. Формулировка этой теоремы и ее доказательство, основанное на использовании преобразования Фурье, приведены в разделе