Б. Гомоморфные относительно свертки системы.

Для обработки речевых сигналов, рассматриваемой в разделе В, важен тот случай, когда компоненты входного сигнала связаны между собой операцией свертки: Во входном сигнале эти компоненты объединены. Для обработки входного сигнала бывает нужным их разделить. С этой целью в качестве входной операции преобразующей согласно рис. сигнал в сигнал используется операция где есть z-преобразования функций

и соответственно. Такие же зависимости имеют место и для компонент сверткой которых является При этом Здесь есть z-преобразование является z-нреобразованием . Учитывая сказанное, приходим к тому, что

Соответственно

Таким образом, в результате выполнения входной операции осуществляется переход от свертки компонент к сумме компонент . С помощью линейной фильтрации, производимой частью системы, компоненты разделяются, причем каждая из них может быть нужным образом обработана. При рассматриваемом виде гомоморфной обработки выходной операцией, обратной по отношению к входной операции логарифмирования, является операция потенцирования.

На рис. 5.4,в указана последовательность действий, которые производятся. Для того чтобы было возможным проведение их, должно быть обеснечено выполнение ряда условий. При логарифмировании должен быть однозначно определен комплексный логарифм (в общем случае комплексный логарифм является функцией неоднозначной). Нужно, чтобы было возможным разделение линейной частью системы компонент такое разделение может быть выполнено в спектральной области, если одна из компонент или входного сигнала медленно изменяется с течением времени, а другая является быстроизменяющейся. Должны выполняться и некоторые другие условия, которые не будем здесь оговаривать. Они проанализированы в указанных источниках (см., например, [33]). Эти условия, если иметь в виду обсуждаемые далее применения гомоморфных преобразований, обычно соблюдаются.

Используется рассмотренная нами в гл. III связь между z-преобразованием и ДПФ. Практически описанная выше процедура обработки сигналов в гомоморфных относительно свертки системах производится с использованием ДПФ и применяются быстрые алгоритмы их выполнения описанные в гл. III. Операции ДПФ и ОДПФ указаны на рис. 5.4, в, для которого приняты следующие обозначения: 1 — дискретизированный речевой сигнал, подлежащий обработке; 2 — блок выполнения входной операции; 3 — линейная система с постоянными параметрами (линейный фильтр); 4 — блок выполнения выходной операции; 5 — восстановленный, тоже дискретизированный речевой сигнал. Здесь входная операция включает в себя ДПФ, предварительно выполняемое до логарифмирования, а выходная — ОДПФ, выполняемое вслед за потенцированием. Обрабатываются спектры сигналов.

Сигнал, получаемый в результате выполнения входной операции, называют комплексным кепстром. (Как известно, "Кепстр" это измененное слово "спектр". В книге [88] объяснено происхождение термина "кепстр" и сделана ссылка на первоисточник.) Основанием для введения этого термина явилось то, что в гомоморфных относительно свертки системах "в общем случае мы действуем в частотной области так, как принято действовать во временной, и наоборот".