§ 2. Другие вводные данные

А. Классификация функций. Базисные функции.

Ранее мы использовали обозначение для функций времени которыми определяется изменение в зависимости от времени любых входных и выходных величин в системах управления. Дальше будем пользоваться зтим же обозначением, рассматривая также и изменение по времени различных промежуточных величин, характеризующих состояние системы или отдельных ее элементов. Говоря о спектрально-частотном преобразовании, мы использовали новую исходную переменную величину — частоту В дальнейшем встретятся нам и функции этой переменной. Кроме этого, нам придется рассматривать статистические характеристики зависимости между величинами, характеризующими состояние отдельных элементов системы. Для этих величин используем здесь обозначения

Пока будем говорить о функциях времени Классификационные признаки зтих функций могут быть использованы и при рассмотрении в дальнейшем функций частоты

Возможны различные сочетания указываемых ниже признаков. Первым из них является принадлежность функций описывающих интересующие нас процессы, к детерминированным или случайным. Пока ограничимся рассмотрением первых из них, вторые будут описаны особо в соответствующем разделе гл. II.

Рис. 1.5.

Функции разделяются также на периодические и апериодические (непериодические). Периодические функции определяются следующим образом:

где период повторения, целое число. Примеры периодических функций приведены на рис. 1.4,а и 1.5. На последнем рисунке изображена

периодическая функция которая ранее была представлена обособленно (как апериодическая) на рис. 1.2,а. Говоря о периодической функции, имеют в виду, что она повторяется неограниченное количество раз и, следовательно, может быть

Следующим классификационным признаком является признак принадлежности функции к функциям исчезающим, стремящимся к нулю при или к функциям неисчезающим, для которых условие не выполняется.

Различают также классы функций четных или нечетных, или же функций, не относящихся ни к тому, ни к другому классу. Признаком четной функции является

а признаком нечетной функции

Примерами четной и нечетной функций являются соответственно несмещенные косинусоида и синусоида.

Прежде чем перейти к описанию следующего классификационного признака — ортогональности функций, сделаем следующее замечание. Если речь будет идти более чем об одной функции, будем различать их по обозначению в индексе: например, это могут быть функции В следующих гл. II и III для разложения исходной с целью перехода к спектрально-частотному ее представлению будем пользоваться базисными функциями, принадлежащими бесконечному ряду функций

Эти функции ортогональны в интервале а в более общем случае и в интервале где величина связана с величиной уже указывавшимся нами ранее соотношением

С тем чтобы пояснить, что имеется в виду под ортогональными функциями, используем для порядкового номера функции, кроме указанного в (1.4) обозначения к, также и обозначение считая, что кип могут быть различными или же могут совпадать.

Условиями попарной ортогональности указанных функций, заданных в промежутке являются следующие условия:

и

Вместе с тем

При задании рассматриваемых функций в промежутке они тоже попарно ортогональны, если выполняются условия: интеграл

равен нулю при к и отличен от нуля при . В последнем случае величина интеграла не равна уже а определяется значением То же относится и к

В гл. IV мы встретимся и с другими наборами базисных функций. Приведем общее определение условий попарной ортогональности бесконечного числа

заданных в промежутке функций, для которых порядковые их номера будем также обозначать не только буквой к, как указано в (1.8), но и буквой и: интеграл равен нулю при к а при этот интеграл, т.е. отличен от нуля.

Если для какой-либо из базисных функций функции) последний интеграл равен 1, то функцию называют нормированной. Если в ортогональной системе функций все составляющие ее функции нормированные, то такую систему нызвают ортонормированной.

Укажем в заключение классификационный признак, по которому различают как характеристики отдельных элементов, так и характеристики системы в целом. Это признак, по которому элемент или систему относят к числу линейных или нелинейных. Он принимается во внимание при анализе функционирования и при синтезе системы, начиная уже с рассмотрения статистических характеристик ее элементов. Обратимся к элементу, для которого в статических условиях являются соответственно входной и выходной величинами. Пусть статическая характеристика элемента имеет такой вид, как показано на рис. 1.6,а, причем исходной точкой является точка А, и можно при исследовании работы элемента ограничиться рассмотрением отклонений на от значения и, отвечающего точке А. Заменим соответствующий участок характеристики участком касательной, проведенной к ней в точке А. Эта замена называется линеаризацией нелинейной характеристики. Если же должно исследоваться поведение элемента при изменении и на относительно большую величину, например на то в рассматриваемом случае линеаризация не может быть произведена. Она заведомо невозможна для показанной на рис. характеристики, являющейся, как говорят, существенно нелинейной. Если все элементы системы линейные (имеют на всем рабочем участке исходно прямолинейные или линеаризуемые характеристики), то систему

Рис. 1.6

называют линейной. Если же в системе имеется хотя бы один нелинейный элемент, то ее называют нелинейной. Нелинейность системы в некоторых случаях бывает обусловлена и динамическими ее свойствами. Переходные процессы в линейных системах управления описываются линейными дифференциальными уравнениями, в нелинейных — нелинейными.