Б. Секционированные свертки.

В разделе А было показано на примере, как при свертывании -точечной и -точечной последовательностей получается -точечная последовательность. Это должно помочь созданию у читателя представления о рассматриваемых далее так называемых секционированных свертках. Возможность их получения имеет большое значение по следующим причинам. Во многих случаях необходимо выполнять операцию свертки последовательностей, одна из которых -точечная относительно коротка, но вторая последовательность большой длины. Например, при рассматриваемой далее в гл. V обработке речевых сигналов последовательность отражающих их дискретных величин иногда может считаться неограниченной. Примем в дальнейшем, что вторая из свертываемых последовательностей имеет неограниченную деятельность. При этом ранее описанный способ формирования линейной свертки в том виде, в каком он был указан, практически не может быть реализован, так как для получения этим способом свертки последовательностей нужно сразу же производить обработку полностью обеих последовательностей, в том числе и той, которую считают бесконечно длительной. Данный недостаток устраняется при секционировании длинной последовательности.

Получение секционированных сверток основано на следующем. Последовательность большой длины, которая, как было сказано, может считаться неограниченной, разделяется на ряд секций, каждая из которых рассматривается как отдельная последовательность. Находятся ранее описанным способом свертки каждой такой секции с первой из исходно заданных последовательностей. Применяются специальные методы образования из этих частичных сверток общей свертки заданных последовательностей.

Известны два таких метода, один из которых называют методом перекрытия с суммированием, второй — методом перекрытия с накоплением.

Опишем сначала первый из них. Рассмотрим, например, образование свертки -точечной последовательности являющейся импульсной характеристикой некоторой другой последовательности, с неограниченно длительной последовательностью Последнюю разделим на секции, каждая из которых длительности Величина обычно берется того же порядка, что и . Для наглядности примем Имеем где если при иных значениях Введем для частичной свертки обозначение Тогда искомая свертка

может быть представлена в следующем виде: где

Таким образом, получается как сумма частичных сверток Но из ранее изложенного следует, что длина каждой частичной свертки равна Поэтому, выделяя для секции длиной получим, что каждая частичная свертка захватывает точек, относящихся к участку, занятому другой частичной сверткой. На участке перекрытия частичные свертки суммируются. Отсюда и название данного метода: метод перекрытия с суммированием.

Метод перекрытия с накоплением отличается от указанного выше тем, что разделяется так, что каждая секция этой последовательности изначально перекрывает предшествующую в точках. При выполнении круговой свертки и выделении части круговой свертки, отвечающей линейной свертке, из накопленных значений отбрасывается значений, которые являются неправильными.

Примеры нахождения секционированных сверток при использовании обоих указанных выше методов приведены в [85,101].