§ 4. Дискретный ряд Фурье (ДРФ) и дискретное преобразование Фурье (ДПФ). Дискретное преобразование Лапласа и z-преобразование

А. Формулы ДРФ и ДПФ.

В некоторых случаях оказывается целесообразным представление частотных характеристик дискретных систем в виде дискретного ряда Фурье. Говоря о ДРФ, имеют в виду следующие преобразования: прямое

и обратное

Дискретное преобразование Фурье является широко применяемым в цифровой технике методом представления информации. Прямое ДПФ выполняется над последовательностью дискретных величин конечной длительности. В результате получается так же конечной длительности дискретная последовательность величин, дающих частотно-спектральное представление указанной исходной последовательности. При обратном ДПФ (ОДПФ) по второй последовательности находится первая из них. Каждая из этих последовательностей содержит одинаковое количество N дискретных величин.

Используются следующие формулы ДПФ формула прямого ДПФ

формула ОДПФ

В первом случае во втором что при иных значениях кип соответственно

В дальнейшем будем иногда использовать обозначение ДПФ для обоих этих преобразований, в основном же будем пользоваться им, имея в виду прямое преобразование, а для обратного будем применять по-прежнему, как это было указанно выше, обозначение ОДПФ.

Для сокращения записей введем обозначение

При этом формулы ДПФ и ОДПФ соответственно приобретают следующий вид:

В некоторых источниках используется обозначение для той же величины, что и в выражении (3.38), но без знака минус в показателе степени. При этом, разумеется, соответственно изменяются знаки в показателях степени при в формулах (3.39) и (3.40). В нашей книге примем, как было оговорено, для величины обозначение (3.38).