Б. Использование частотных характеристик для суждения об устойчивости линейной системы.

Одним из основных требований, предъявляемых к системе автоматического управления, является требование устойчивости. Систему управления считают устойчивой, если после начального отклонения от положения равновесия в отсутствие внешних воздействий она с течением времени возвращается к исходному равновесному положению.

Чаще всего оказывается простым суждение об устойчивости разомкнутой системы управления. Например, всегда устойчива разомкнутая система, состоящая из любого количества последовательно соединенных элементов, если АФЧХ всех элементов такого вида, как показанные на рис. 2.4,в и или же в верхней части рис. 2.5, а. Однако при замыкании этой же системы по приведенной на рис. 2.5, б схеме она может оказаться устойчивой или неустойчивой. Для того чтобы рассматриваемая замкнутая система была устойчивой, нужно лишь, чтобы ее АФЧХ в разомкнутом состоянии при удалении линии обратной связи) не охватывала точку с координатной — 1 на оси абсцисс. Это так называемый амплитудно-фазовый критерий устойчивости или критерий Найквиста. На рис. 2.6, а сплошной линией показана АФЧХ разомкнутой системы, которая устойчива и в замкнутом состоянии, а пунктирной линией — АФЧХ разомкнутой системы, которая в замкнутом состоянии неустойчива.

При наличии в системе других типовых звеньев, кроме тех, которые были нами рассмотрены, форма АФЧХ разомкнутой системы оказывается иной и несколько иначе формулируется амплитудно-фаэовый критерий устойчивости. Однако и при этом определяющим является относительное положение АФЧХ разомкнутой системы и точки — 1 на оси абсцисс.

Амплитудно-фазовый критерий устойчивости может использоваться и в том случае, если в системе имеются элементы запаздывания, преобразования Фурье для которых, а следовательно, и АФЧХ которых определяются в соответствии со сделанными в § 2 выводами (имеется в виду теорема запаздывания). Согласно формуле (2.34) преобразование Фурье для функции времени, запаздывающей на относительно исходной функции времени, равно преобразованию Фурье для последней функции, умноженному на Следовательно, АФЧХ элемента запаздывания имеет при

всех частотах и включение его в систему приводит в каждой точке ее АФЧХ к изменению сфетветствующего значения на величину Имея это в виду, выясним, как изменится АФЧХ ранее рассмотренной разомкнутой системы при дополнительном включении в нее элемента запаздывания и как это изменение может повлиять на устойчивость соответствующей замкнутой системы, которая до этого была устойчивой.

Рис. 2.6

Разбивая исходную АФЧХ на малые участки и последовательно переходя от одного из них к следующему, на каждом участке увеличим на угол где — частота для начальной точки участка. Как это делается, показано на рис. 2.6,б. При этом построении все участки смещаются по углу относительно исходных. Если величина малая, то может оказаться, что замкнутая система по-прежнему остается устойчивой. Для этого случая измененная АФЧХ соответствующей разомкнутой системы показана на рис. 2.6, в пунктирной линией 1. При достаточно большом значении замкнутая система становится неустойчивой. В этом случае АФЧХ разомкнутой системы становится такой, как показано на рис. 2.6, в пунктирной линией 2.