Б. Вывод формул ДРФ и ДПФ.

Как получаются формулы (3.34) и (3.35), покажем на следующем примере. Обратимся к системе, в которой при входной последовательности (здесь - круговая частота получается выходная последовательность Для такой системы имеет место, как было показано в § 3, следующая зависимость между той и другой последовательностями:

где

есть частотная характеристика системы, ее импульсная характеристика.

Частотная характеристика является здесь непрерывной периодической с периодом функцией частоты

Формула (3.42) может рассматриваться как формула разложения функции в ряд Фурье (см. (2.19)) при условии, конечно, что этот ряд сходится. Коэффициентами ряда являются значения импульсной характеристики, которые в соответствии с общей формулой (2.20) для определения коэффициентов ряда Фурье представляются следующим образом:

Ряд (3.42) называется дискретным рядом Фурье. Это название отражает здесь то, что уравнение (3.41) связывает между собой последовательности дискретных величин соответственно на входе и на выходе системы. Формулы (3.42) и (3.43) являются формулами пары преобразований Фурье — прямого и обратного.

Сделанный вывод справедлив и для других входных и выходных последовательностей. Следуя [101], заменим принятые для рассмотренного примера обозначения соответственно более общими обозначениями . При этом получим формулы (3.35) и (3.34).

Укажем далее, как получены для ДПФ и ОДПФ формулы (3.36) и (3.37). Для правильного пользования данными формулами нужно знать, при каких условиях применение их является правомочным. Обратим на это особое внимание.

При выводе рассматриваемых формул считается, что каждая из последовательностей конечной длительности представляет собой один период соответствующей периодически повторяющейся последовательности, для представления которой могут быть использованы формулы разложения функции в ряд Фурье. Это существенно, если вспомнить ранее сказанное

в гл. II о различиях в частотно-спектральном представлении периодических и апериодических функций (в этой части выводы, сделанные в гл. II для непрерывных функций, относятся и к дискретным функциям). Без указанной выше трактовки ДПФ оказалось бы, что вывод о конечной длительности как последовательности связанной с временем, так и дающей ее частотное представление последовательности противоречил бы ранее сделанным заключениям. В ходе выводов поясняется и то, что последовательности (3.36) и (3.37) содержат одинаковое количество членов.

Имеются два подхода к выводу формул ДПФ и ОДПФ. При одном из них рассматривается описанная нами в § 2 этой главы дискретизация исходной непрерывной функции с использованием -функции (см., например, [36]). Другой подход, принятый при дальнейшем изложении, основан на непосредственном анализе дискретных последовательностей (см.,например, [85, 101]), причем используются выводы, сделанные в § 2 пп. I и в § 3 гл. III.

Для того чтобы показать, как получаются формулы (3.36) и (3.37), сначала рассмотрим периодическую, имеющую период N последовательность для которой при любом целом к таком, что выполняется условие

Так как функция периодическая, она при соблюдении других необходимых для этого (ранее оговаривавшихся нами) условий может быть разложена в ряд Фурье

Так как функция периодическая по к с периодом имеется только N различных экспонент пределы суммирования по А: в (3.44) могут быть заменены пределами от Постоянный множитель с в введен для удобства. Формула (3.44) не изменится, если взять любым значение с (беря при этом лишь соответственно иным Принято задавать Тогда

Для определения производятся следующие действия. Обе части уравнений (3.45) умножаются на и производится суммирование по от до

Меняя порядок суммирования в правой части последнего уравнения, приходим к тому, что

Принимая во внимание заключаем, что в написанном уравнении выражение в квадратных скобках равно 1 при и равно нулю при Приходим к тому, что

Формулы (3.46) и (3.45) являются формулами прямого и обратного преобразований Фурье для периодической функции Ограничиваясь рассмотрением лишь одного периода, для которого вместо вводим обозначение и вместо обозначение получаем формулу и формулу . С ДПФ связаны и другие описываемые далее преобразования.