В. Пояснения к возникновению периодически повторяющихся спектров при дискретизации непрерывной функции.
Покажем, как получается формула (3.1). Переход от рис. 3.1,а к рис. 3.1,б можно интерпретировать следующим образом. Дискретизированная функция
представляется в виде
где
Записывая последнее выражение, считаем, что для
отсчета величина
есть равная единице площадь, соответствующая данной
-функции.
Функция
является периодической функцией, которая может быть разложена в ряд Фурье: согласно формуле (2.19)
В гл. II было показано, что коэффициент
разложения в ряд Фурье периодической, повторяющейся с периодом
функции равен деленной на
спектральной плотности
однотипной с ней апериодической функции (см. (2.51), вместо использовавшегося в гл. II обозначения
здесь для периода функции принято обозначение
). Как тоже было показано в гл. II, для
-функции модуль ее спектра
равен единице (см. с. 41). Поэтому для ряда
Этот коэффициент, который при заданном интервале дискретизации является постоянным, можно вынести в (3.3) за знак суммы. Получаем
Спектральная плотность исходной непрерывной функции
Спектральная плотность
функции
может быть, если принять во внимание выражения (3.2), (3.4) и (3.5), представлена в следующем виде:
или
Здесь
Последнее следует из сравнения
с правой частью выражения (3.5). Таким образом, приходим к тому, что
Получена ранее указанная формула (3.1).