В. Пояснения к возникновению периодически повторяющихся спектров при дискретизации непрерывной функции.

Покажем, как получается формула (3.1). Переход от рис. 3.1,а к рис. 3.1,б можно интерпретировать следующим образом. Дискретизированная функция представляется в виде

где

Записывая последнее выражение, считаем, что для отсчета величина есть равная единице площадь, соответствующая данной -функции.

Функция является периодической функцией, которая может быть разложена в ряд Фурье: согласно формуле (2.19)

В гл. II было показано, что коэффициент разложения в ряд Фурье периодической, повторяющейся с периодом функции равен деленной на спектральной плотности однотипной с ней апериодической функции (см. (2.51), вместо использовавшегося в гл. II обозначения здесь для периода функции принято обозначение ). Как тоже было показано в гл. II, для -функции модуль ее спектра равен единице (см. с. 41). Поэтому для ряда Этот коэффициент, который при заданном интервале дискретизации является постоянным, можно вынести в (3.3) за знак суммы. Получаем

Спектральная плотность исходной непрерывной функции

Спектральная плотность функции может быть, если принять во внимание выражения (3.2), (3.4) и (3.5), представлена в следующем виде:

или

Здесь

Последнее следует из сравнения с правой частью выражения (3.5). Таким образом, приходим к тому, что

Получена ранее указанная формула (3.1).