Б. Преобразование Френеля. Условия перехода от преобразования Френеля к преобразованию Фурье.

Сначала рассмотрим одномерное преобразование Френеля функции которое определяется следующим образом:

Это равенство можно переписать так:

Преобразованием Фурье функции являются

и соответственно

Сравнивая это выражение и выражение (5.6), приходим к тому, что

откуда следует

Пользуясь формулами (5.7) и (5.8), можно получить для заданной функции выражение преобразования Френеля, если известно для нее преобразование Фурье, или же, наоборот, зная преобразование Френеля, можно перейти от него к преобразованию Фурье.

Рассмотрим теперь, как выполняется в оптической среде двумерное преобразование Френеля. Выясним, как в этом случае оно связано с соответствующим преобразованием Фурье. Примем во внимание условия распространения световой волны на участке между находящимися на расстоянии одна от другой плоскостью, в которой помещен транспарант (плоскость на рис. 5.5,а), и плоскостью регистрации изображения (плоскость х, у). Так как плоскость транспаранта (его апертура)

Рис. 5.5

ограничена, при обозначении операций интегрирования заменим ранее указывавшиеся пределы —00 конечными пределами, т.е. будем просто отмечать, что производится интегрирование по или по Будем считать, что известна комплексная амплитуда световой волны для любой из точек плоскости При образовании в точке плоскости сферической волны и образовании во всех других точках этой плоскости сферических волн суммарное их действие приводит к тому, что в любой точке с координатами х, у, находящейся в плоскости х, у, комплексная амплитуда световой волны

Вывод формулы (5.9) здесь не дается, с ним можно познакомиться по книге [72]. Формулой (5.9) описывается интегральное преобразование Френеля — Кирхгофа. Здесь это интегральное преобразование комплексной амплитуды В другом виде данное преобразование представляется так:

Если выделить входящее в эту формулу выражение

то это и будет преобразование Френеля функции

В другой записи рассматриваемое двумерное преобразование Френеля

где — параметры преобразования, которые равны:

Комплексная амплитуда А(х, у) так зависит от преобразования Френеля функции :

где

Физическое значение множителей в правой части выражения (5.14) следующее: первый из них характеризует изменение в зависимости от расстояния амплитуды волны; второй характеризует общее для всех точек плоскости х, у изменение фазы; третий, о котором будет сказано особо, является фазовым множителем расходящейся фазовой волны.

Говоря далее о значениях будем иметь в виду размеры, которыми определяется апертура транспаранта. При

в выражении (5.14) последний множитель можно приближенно принять равным единице. Это приближение называют приближением Фраунгофера, а область пространства, для которой оно является приемлемым, — областью Фраунгофера. В противном случае рассматривается так называемая область Френеля. В области Фраунгофера комплексная амплитуда равна и здесь уже выполняется интегральное преобразование Фурье.