Д. Другие виды обработки изображений. Линейные преобразования. Нелинейные и итерационные алгоритмы.

Используются цифровые статистические методы обработки изображений [140]. Принимается во внимание частота появления отдельных значений сигнала. Соответствующая характеристика называется гистограммой распределения значений. Для сглаживания гистограмм вычисляются коэффициенты разложения их по ортогональному базису: выполняется БПФ или производится разложение по какому-либо из других ортогональных базисов. Возникает необходимость в использовании корреляционных функций при описании стационарных случайных процессов. Для вычисления этих функций тоже применяется БПФ. При восстановлении изображений средствами цифровой техники, для учета случайных воздействий на изображение пользуются моделями аддитивного шума (суммируется с основным сигналом), импульсного (воздействует только на случайно расположенные точки изображения) или мультипликативного (полезный сигнал умножается на случайный). В разных случаях оказывается оправданной та или другая из этих моделей. При цифровой коррекции линейных искажений используется БПФ или же применяются цифровые фильтры, о которых было сказано в § 7 гл. III.

Вслед за коррекцией линейных искажений препарируют изображения линейными же методами, которые, согласно [140], "по существу являются продолжением методов коррекции линейных искажений изображающих систем, и их можно трактовать как оптимальную линейную фильтрацию сигнала в шуме, если под шумом понимать детали, несущественные для данной задачи анализа изображения. Наиболее часто используется подавление низких и усиление высоких пространственных частот ДПФ сигнала. Подавление низких пространственных частот позволяет ослабить медленное изменение сигнала и за счет этого значительно усилить контраст, а значит, и заметность мелких деталей".

При рассмотрении линейных методов восстановления изображений авторами книги [18] особое место отведено использованию метода регуляризации А.Н. Тихонова [119, 120]. Целесообразность применения этого метода определяется тем, что задача восстановления изображений должна расцениваться как некорректная, так как нельзя получить точное решение основного интегрального уравнения — такое, которое не было бы подвержено влиянию малых изменений исходных данных. При приближенном решении, основанном на ограничении полосы частот, могут быть значительные погрешности. Регуляризация решения производится следующим образом: строится семейство так называемых обратных операторов, зависящих от некоторого числового параметра (параметра регуляризации). Каждый из них дает решение корректной задачи. Решение стремится к решению первоначально поставленной некорректной задачи при согласованном стремлении к нулю параметра регуляризации и ошибки исходных данных. Применяя этот метод для восстановления изображений, пользуются аппаратом корреляционного анализа, причем рассматриваются спектральные плотности мощностей, являющихся фурье-образами соответствующих корреляционных функций. Метод регуляризации используется и при реализации некоторых нелинейных и итерационных алгоритмов обработки изображений.

В книге [18] сравнены линейные, нелинейные и итерационные алгоритмы восстановления изображений. Тогда как первые из них более просты, возможности их применения ограничены. Нелинейные алгоритмы универсальнее, имеется при их использовании большая возможность регуляризации, возможна экстраполяция спектра при значительных искажениях и интенсивном шуме.

Итерационные алгоритмы оценены так. Указано, что они представляют собой альтернативу методам нелинейного программирования. К достоинствам итерационных алгоритмов можно отнести возможность учета нелинейных ограничений, регуляризации и обеспечения сходимости задачи. Недостатком алгоритмов является большая чувствительность к шуму по сравнению с нелинейными алгоритмами, медленная сходимость и возможность включения в восстанавливающую схему более узкого класса ограничений, чем для нелинейных алгоритмов. Итерационные алгоритмы имеют однако важные преимущества — простоту программирования и реализации в оптических и оптико-цифровых системах".

Разработаны различные методы нелинейной обработки, выполняемой в спектральной области. Используется преобразование Фурье или же производится разложение по другим ортогональным базисам, указанным в разделе Ж этого параграфа. При обработке изменяется соотношение между спектральными составляющими сигнала. В результате такого нелинейного преобразования при обработке изображения могут, например, подавляться большие величины и усиливаться малые [140]. Представление функции, описывающей изображение, в виде совокупности спектральных коэффициентов используется для улучшения изображений. Разработана процедура обработки этого вида, при которой каждый из коэффициентов возводится в степень при сохранении для них знака или фазы. В книге [99] приведены образцы изображений, обработанных методом извлечения корня из коэффициентов Фурье.

Повышение качества изображений достигается и с помощью точечных операций, при которых независимо от других точек каждая из рассматриваемых точек исправляемого изображения преобразуется в соответствующую точку изображения, получаемого после коррекции [133]. Путем нелинейного преобразования яркостей изменяется контрастность.

Преобразования Фурье применены при различных способах обработки изображений [99, 140]. Это относится к изменению контрастности, изменению распределения яркостей, подавлению шумов, подчеркиванию границ.

Применяется гомоморфная обработка изображений. Здесь при гомоморфной фильтрации так же, как было указано в § 5, нелинейными являются входная и выходная операции, а обработка в спектральной области производится промежуточной линейной частью системы. Следуя изложению вопросов гомоморфной фильтрации изображений в книге [88], отметим то, что является характерным для изображений. Изображение получается при отражении от финитного объекта световой энергии, излучаемой источником света. Описывая моделирование процесса формирования изображения, будем пользоваться обозначениями, увязанными с теми, которые были введены в § 5 при рассмотрении гомоморфной обработки речевых сигналов (в дальнейшем вернемся к обозначениям, принятым ранее в этом разделе). Яркость изображения представляется в виде произведения

функции освещенности и функции отражающей способности где непрерывные пространственные переменные; Для дискретизированных величин имеет место следующее соотношение между соответствующими последовательностями: При гомоморфной фильтрации разделяются и отдельно обрабатываются обычно медленно изменяющаяся компонента, отвечающая функции освещенности, и быстро изменяющаяся компонента, отвечающая функции отражательной способности.

В отличие от гомоморфной системы относительно свертки, рассмотренной в § 5 применительно к обработке речевых сигналов, здесь встречаемся с мультипликативной гомоморфной системой: исходная неразделенная функция представляет собой произведение компонент Схема гомоморфной обработки при этом такая: при выполнении входной операции совершается переход от произведения указанных величин к сумме их логарифмов:

Так как то логарифм здесь однозначный. Линейной частью системы обрабатываются раздельно причем получается Выполнение выходной операции дает

Для применений гомоморфного метода при обработке изображений характерен следующий пример, также более подробно рассмотренный в книге [88]. Освещенность, которая в общем изменяется медленно, в пределах кадра может изменяться значительно, и из-за этого изображение имеет большой динамический диапазон, что затрудняет запись изображения и его передачу по линиям связи. Должна производиться обработка компоненты освещенности для сжатия динамического диапазона. С другой стороны, должна производиться обработка компоненты отражающей способности для увеличения контрастности по краям изображения. Оба действия должны выполняться различными способами, не будучи связаны между собой. Если считать, что линейной операцией является где частотно-независимое усиление, то получим: Для одновременного же уменьшения динамического диапазона и усиления контрастности принимается, что

Одним из получивших применение методов нелинейной фильтрации является так называемый метод медианной фильтрации, позволяющий эффективно подавлять некоторые виды шумов, например случайные выбросы, без того, чтобы при этом происходило искажение изображения [14, 99]. Что представляет собой медианный фильтр, в книге [99] определено так: "Одномерный медианный фильтр представляет собой скользящее окно, охватывающее нечетное число элементов изображения. Центральный

элемент заменяется медианой всех элементов изображения в окне. Медианой дискретной последовательности для нечетного N является тот ее элемент, для которого существует элементов, меньших или равных ему по величине, и элементов, больших или равных ему по величине". Разработаны принципы двумерной медианной фильтрации.

К нелинейным методам восстановления изображений относятся также методы аналитического продолжения спектра и сверхразрешения [18]. Говоря о них имеют в виду, что для системы, полоса пропускания которой ограничена интервалом разрешающая способность пропорциональна Применяются алгоритмы обработки, основанные на том, что производится экстраполяция частот за пределы указанного интервала. Достигается это при использовании преобразований Фурье и при использовании рассмотренных нами в гл. II положений Идея данных методов восстановления изображений так выражена авторами книги [18]: фурье-образ финитной функции, известный в некоторой области, может быть экстраполирован на всю комплексную плоскость. Отсюда следует, что знание спектра сигнала внутри некоторого интервала частот можно использовать для нахождения спектра вне полосы пропускания. В результате появляется возможность (по крайней мере теоретически) достижения сколь угодно большой разрешающей способности". При практическом использовании этих выводов для восстановления изображений учитываются реальные возможности. Если полоса пропускания ограничена так, как было указано выше, на выходе получают изображение с полосой пропускания при условии, что В этом смысле говорится об эффекте сверхразрешения.

Преобразование Фурье и z-преобразование выполняются при решении задачи восстановления информации о фазе спектра изображения [18].

Преобразования Фурье выполняются и при итерационной обработке изображений. Итерационные методы восстановления изображений характерны тем, что по известному приближению ищется следующее более точное приближение и эта операция может повторяться несколько раз, т.е. восстановление изображения производится путем последовательных приближений. В некоторых случаях оказывается целесообразной регуляризация итерационных алгоритмов. Из числа описанных в книге [18] итерационных алгоритмов практически наиболее важными являются итерационные алгоритмы с псевдодифференциальными операторами ограничения. С помощью таких операторов производятся на каждом шаге вычисления в пространственной и спектральной области. Таким оператором действующим на функцию назван оператор, определяемый следующим образом: где - операторы прямого и обратного преобразования Фурье, оператор, действующий в спектральной области.

Краткие сведения, приведенные в этом и в предшествующих разделах § 8, должны дать представление о том, в какой мере различны применяемые в разных случаях методы цифровой обработки изображений. Каждый из них имеет относительно других свои преимущества и недостатки. Так как на практике приходится встречаться с различными условиями формирования изображений, в разных случаях оказывается более оправданным использование того или иного из упомянутых методов.

Особое значение имеет применение рассматриваемых нами преобразований при цифровом синтезе и при цифровой обработке голограмм.