В. Использование преобразования Фурье при исследовании прохождения случайных сигналов через элементы линейной системы.

Выводы, которые делаются ниже, относятся как к отдельному элементу, так и к системе в целом, представляемым так, как они были изображены на рис. 1.1. Только лишь сейчас будем считать, что входное воздействие а соответственно и выходной процесс являются случайными процессами. На основе того, о чем было рассказано в предшествующем разделе, созданы эффективные методы исследования прохождения случайных сигналов через элементы и системы управления и связи.

Введем следующие обозначения: рассматриваемого объекта — элемента системы или системы в целом, спектральная гшотность случайного процесса - спектральная плотность случайного процесса взаимная спектральная плотность указанных процессов.

При расчете характеристик прохождения случайных сигналов в линейных системах управления и связи используются следующие основные формулы:

Согласно первой из этих формул спектральная плотность случайного процесса на выходе линейного объекта равна спектральной плотности представляющего входное воздействие случайного процесса умноженной на квадрат модуля АФЧХ данного объекта. Вторая же из этих формул показывает, как связаны между собой взаимная спектральная плотность случайных процессов со спектральной плотностью последнего процесса и с АФЧХ.

Покажем, как выводятся эти формулы. Сначала укажем, как получается формула (2.146). Рассмотрим заданные в интервале процессы аналогичные процессу о котором было написано на с. 82. Для этих процессов существуют преобразования Фурье которые связаны с АФЧХ согласно основной

формуле, выведенной в

Так же, как это было сделано на с. 82 для процесса введем в рассмотрение условные преобразования Фурье для процесса для процесса Разделив левую и правую части уравнения (2.148) на и переходя к пределу при получаем

Так как равны квадраты модулей левой и правой части этого уравнения, то

Но согласно ранее принятым обозначениям (см. (2.138))

Если это учесть, то уравнение (2.149) приводится к виду (2.146).

Формула (2.147) выводится так. Применительно к принятым здесь обозначениям уравнение (2.145) имеет следующий вид:

Разделим и умножим в правой части последнего уравнения на Получаем

или

Но

и

Подставляя зги величины в уравнение (2.150), приходим к формуле (2.147).

Как было показано раньше, спектральные плотности случайных процессов могут быть легко определены, если известны соответствующие корреляционные функции. Для независимых составляющих процесса его общая корреляционная функция равна сумме корреляционных функций составляющих. При совместной передаче случайных и детерминированных составляющих процесса последние выделяются из общего сигнала с учетом того, что было сказано в § 5 (см. с. 73): в автокорреляционной функции может

быть выделена та ее часть, которая соответствует постоянной детерминированной составляющей, и по виду автокорреляционной функции можно сделать заключение о наличии детерминированных гармонических составляющих процесса.

Одним из наиболее важных применений в рассматриваемой области спектральных представлений случайных процессов является их применение с целью идентификации характеристик элементов и систем управления.