Б. Преобразование Фурье и корреляционные функции детерминированных процессов.

При разработке и исследовании систем управления и связи возникает необходимость в оценке передаваемых и преобразуемых сигналов. Вопрос этот особенно существен для случайных процессов, рассматриваемых в § 6. Однако он актуален и для детерминированных процессов, обсуждением характеристик которых мы ограничиваемся в этом разделе. Характеристики отдельного процесса или двух взаимосвязанных процессов оцениваются с помощью так называемых корреляционных функций. Дальше покажем, в какой мере понятие корреляционной функции связано с понятием преобразования Фурье. Но первоначально приведем общие сведения о корреляционных функциях.

Сначала обратимся к отдельно взятому процессу изменения величины х как функции от времени такому, например, как показанный на рис. 2.14, а. Автокорреляционная функция для всего процесса в целом характеризует степень связи между значениями функции в каждый данный момент времени и ее значениями в моменты времени, смещенные относительно на величину

Для ограниченного по времени процесса автокорреляционная функция определяется следующим образом:

где величина смещения (см. рис. 2.14, а).

При величина имеет значение, равное

Для неограниченных по времени процессов, в частности для любых периодических процессов, интеграл (2.116) расходится. Для этих процессов автокорреляционная функция определяется иначе:

Рис. 2.14

Размерность отличается от размерности так как в выражении (2.117) перед знаком интеграла имеется множитель

Для процесса с периодом значение не изменится, если одним периодом ограничить рассматриваемый временной интервал:

Для детерминированных процессов рассмотрим автокорреляционные функции (2.115) и (2.117). Автокорреляционная функция имеет свойства, которые укажем, имея в виду Этими свойствами обладает и

Первым из них является то, что т.е. есть функция четная. Другим является то, что при

Укажем, как это доказывается.

Первое названных свойств автокорреляционной функции следует из того, что, вводя в выражения получаем Заменяя здесь на находим, что

Это свидетельствует о том, что

Второе свойство следует из того, что заведомо Умножая обе части этого выражения на выполняя интегрирование по в пределах от до и переходя к пределу при находим, что

Производя в левой части этого выражения во втором интеграле замены приводим этот интеграл к такому же виду, как и первый из указанных здесь интегралов. Принимая во внимание, что каждый из этих интегралов равен приходим к тому, что больше или равняется при

Этими свойствами объясняется то, что автокорреляционная функция обычно имеет такой вид, как показано на рис. 2.14, б. Правда, такой вид она имеет лишь при условии, что в составе не имеется постоянной составляющей а, и при условии, что не представляет собой гармоническую функцию или сумму гармонических функций. Если в составе имеется постоянная составляющая а, то при автокорреляционная функция асимптотически приближается к горизонтали, отстоящей от оси абсцисс на величину автокорреляционная функция для равна [1].

Аналогично тому, как определяется автокорреляционная функция для процесса определяется и взаимно корреляционная функция двух процессов которая для обоих процессов в целом характеризует степень связи между значениями функции в данные моменты времени и значениями функции в моменты времени, смещенные на величину относительно данных моментов времени. смещение при каждом производится так, как показано на рис. 2.14, е.

Для ограниченных по времени процессов их взаимно корреляционная функция

Для неограниченных по времени процессов их взаимно корреляционной функцией считается

К вопросам использования автокорреляционной и взаимно корреляционной функций вернемся в § 6.

Покажем теперь, как связаны между собой автокорреляционная функция и спектральная плотность процесса. Воспользуемся формулой (2.40), в которой положим Если есть спектральная плотность процесса то для процесса в соответствии с теоремой запаздывания (см. формулу (2.35)) получаем следующее выражение спектральной плотности: Применяя формулу (2.40), в которой место занимает теперь и учитывая, что приходим к следующему выражению:

Соответственно с этим

Формулами (2.121) и (2.122), которые являются формулами обратного и прямого преобразований Фурье, устанавливается связь между автокорреляционной функцией и спектральной плотностью энергии. Обозначение 1 в индексе при здесь несущественно. Оно было введено нами в связи с использованием при выводах уравнения (2.40), а так как рассматривается единый процесс единица в индексе может быть опущена.

Все эти выводы сделаны для детерминированных процессов. Мы вернемся к рассмотрению связи между корреляционными и спектральными характеристиками процессов в § 6. Для рассматриваемых в § 6 случайных процессов будет принята несколько иная терминология. Так, применительно к ним спектральную плотность энергии будем просто называть спектральной плотностью процесса.