В. Дискретное преобразование Лапласа и z-преобразование.

При исследовании цифровых систем управления и связи используются оба эти преобразования. Наибольшее применение получило z-преобразование.

Имея в виду сравнение в дальнейшем рассматриваемых здесь преобразований с ДПФ, напомним то, что было принято при выводе формул ДПФ

и при предшествующих выводах. Последовательность была представлена как один период периодической функции Была введена в рассмотрение величина отражающая значение круговой частоты Так как при разложении в ряд Фурье получается только V различных комплексных экспонент оказалось возможным заменить суммирование в пределах от до суммированием в пределах от Обозначение для дискретных значений времени было заменено обозначением

Далее, на этой и следующей страницах в связи со ссылками на книгу [36], автор которой пользуется обозначением и вернемся к последнему, указывая его наряду с обозначением и, которого затем будем придерживаться.

Можно считать, что исходным для сделаннных выводов является фигурировавшее при описании ДРФ (см. (3.34)) выражение вида

или

Если при оно приобретает следующий вид:

или

Заменим, так же как это делалось в § 3 гл. II для непрерывных функций, в выражениях (3.47) и (3.48) переменную на комплексную переменную

При такой замене переменных получены (см. [36]) формулы дискретного преобразования Лапласа: двустороннего

одностороннего

Обратное дискретное преобразование Лапласа определяется так же, как и описанное в § 3 гл. II обратное преобразование Лапласа для непрерывных функций. В выражении дискретного преобразования Лапласа имеется трансцендентная функция Замена ее комплексной переменной

упрощает исследование системы рассматриваемого вида.

Подставляя в формулы (3.49) и получим следующие формулы двустороннего и одностороннего z-преобразований:

Отображение точек и областей -плоскости на z-плоскость было рассмотрено нами в конце § 7 гл. II.

Указанная выше форма записи z-преобразования дается в ряде источников (см., например. [36], с. 496). Мы будем в дальнейшем придерживаться, как уже было оговорено, обозначений, принятых в литературе по цифровой обработке информации. В частности, как и ранее при рассмотрении ДПФ, будет использоваться обозначение для числовых последовательностей. Имея в виду двустороннее прямое z-преобра-зование, будем определять его следующим образом:

Аналогично определяется и одностороннее прямое z-преобразование, только суммирование начинается с

С тем чтобы выяснить, как связано z-преобразование с ДПФ, представим комплексную величину z в правой части уравнения (3.54) в

следующем виде: Подставляя в это выражение где придем к тому, что

Возьмем равноудаленные выборки из для При чему отвечает правая часть уравнения (3.55) совпадает с правой частью уравнения (3.39) и, следовательно, z-преобразование равно ДПФ последовательности. Это дает основание к тому, чтобы рассматривать -преобразование как расширенное ДПФ.

Дня вычисления обратного z-преобразования используется формула

Покажем, как получается эта формула, затем в § 4 рассмотрим свойства ДПФ и z-преобразования. Для получения формулы (3.56) обе части уравнения (3.54) умножаются на и производится интегрирование по включающему начало координат контуру С, лежащему в области сходимости Производится обход контура в положительном направлении (против часовой стрелки). Уравнение, полученное в результате указанных выше преобразований, представляется в следующем виде:

В правой части последнего уравнения выражение в квадратных скобках не равно нулю только при что следует из выводов, сделанных в § 7 гл. II. Учитывая это, приходим к формуле (3.56).