Б. Дополнительные сведения об обобщенных преобразованиях, ранее упоминавшихся в книге.

В § 9 гл. III были приведены сведения об использовании методов теоретико-числовых и полиномиальных преобразований для быстрого выполнения дискретного преобразования Фурье и сверток. Эти методы являются весьма общими и, как было показано в отношении преобразований Фурье, могут применяться различным образом. На общность преобразований Фурье (Лапласа) было обращено внимание в работах Я. З. Цыпкина и Р. Г. Фараджева, которые ввели понятие преобразования Лапласа-Галуа и указали на возможность его использования в теории последовательностных машин [111, 112]. Преобразование

Уолша тоже может рассматриваться как частный случай теоретико-числовых и полиномиальных преобразований. В работе [1] оговорено, что "применения алгоритма БПФ к преобразованиям Фурье, Уолша и Адамара суть специальные случаи преобразований Фурье в алгебрах над полями и кольцами", и сделана ссылка на приведенные в статье Полларда примеры, в которых "ДПФ определяется над конечными полями (полями Галуа)". В статье [20] отмечено, что числовое преобразование Адамара длины фактически есть -мерное ДПФ , и наряду с числовым преобразованием Фурье рассмотрено более общее преобразование Фурье-Галуа. В посвященной также применению теоретико-числовых преобразований работе [1] показано, что -точечное преобразование Уолша эквивалентно -мерному ДПФ.

В § 2 было указано, что преобразование Уолша-Адамара является частным случаем более общих преобразований Адамара. Кроме особых качеств преобразований Уолша и Хаара были отмечены их свойства, являющиеся общими со свойствами преобразований Фурье.

Общее в функциях Уолша и Хаара, в различных модификациях (различных упорядочениях) функций Уолша было выяснено при описании способов перехода от одних из них к другим. Общность различных преобразований проявляется, когда сравниваются характеристики, получаемые при использовании различных базисов и, как говорят, различных видов ядра преобразования.

Имеется возможность различной трактовки вопросов выполнения обобщенных ортогональных преобразований. Это будет показано на примерах, которые будут приведены в следующем разделе.