Б. Краткие сведения из теории функций комплексного переменного.

Основными для рассматриваемых приложений являются следующие определения и следующие зависимости теории функций комплексного переменного:

1. Однозначная функция комплексного переменного ставит в соответствие каждой точке из некоторого множества точек плоскости определенную точку на плоскости Здесь Например, На рис. 2.18 показано отображение с использованием последней формулы на плоскость трех точек плоскости для которых равны соответственно 0,0; 1,1; 2,1. В некоторых случаях используются следующие обозначения:

Обычно функция задается для значений относящихся к некоторой области. Последняя определяется как совокупность точек обладающих таким свойством, что при принадлежности к области одной из точек ей принадлежат и другие достаточно близкие к ней точки и, кроме того, выполняется условие связности, согласно которому любые две точки области можно соединить кривой, все точки которой принадлежат области. Граница области (контур) С состоит из точек, не принадлежащих области, но сколь угодно близкие к ним точки (естественно, только с одной стороны) являются точками области.

Рис. 2.18

Область называют односвязной, если контур С представляет собой одну замкнутую кривую, как показано на рис. 2.19, а. Если же контур образован N кривыми, из которых внутренние (на рис. 2.19, б изображен контур с то область называют N-связной. С помощью разрезов -связная область может быть преобразована в односвязную. Как это делается, показано на рис. для области, исходный вид которой был представлен на рис. 2.19, б. За положительное направление обхода контура принимается такое, при котором обход производится в направлении против часовой стрелки.

Область (обозначим ее при включении в нее также и контура С называется замкнутой областью. В этом случае используется для нее обозначение ).

Рис. 2.19

Функцию считают непрерывной во внутренней точке области при условии, что

Говорят, что функция непрерывна в области, если она непрерывна в каждой ее точке.

Если при величина отношения стремится к конечному пределу, не зависящему от закона стремления к нулю, то этот предел, обозначаемый , называется производной от по Производную имеют лишь непрерывные функции

Функция называется регулярной или аналитической в области если она однозначна и имеет в каждой внутренней точке зтой области непрерывную производную Для любой регулярной функции удовлетворяются условия Коши-Римана

К регулярным функциям применимы обычные формулы дифференцирования. Интеграл от функции комплексного переменного для участка

некоторой кривой в плоскости равен

где являются вещественными функциями следовательно,

являются обычными интегралами от функций двух вещественных переменных.

Отображение некоторой области на область осуществляемое непрерывной функцией называется конформным, если в каждой точке при отображении сохраняются по величине и направлению углы между кривыми, проходящими через данную точку. Отображение области, производимое регулярной функцией является конформным приусловии, что во всех точках области Если в какой-либо точке отображаемой области то в такой точке конформность отображения нарушается (например, функция для которой конформно отображает соответствующие элементы плоскости на плоскость при всех значениях кроме

Основные выводы ТФКП связаны с использованием теоремы Коши, которая формулируется следующим образом: если регулярна в некоторой области и С есть любой замкнутый контур в этой области, то

При преобразовании -связной области в односвязную (см. рис. 2.19)

Под знаком суммы указаны интегралы по замкнутому контуру для всех внутренних контуров (см. рис. 2.19, г). Из написанного уравнения следует

2. Из соотношения (2.157) следует формула Коши

Здесь функция, являющаяся регулярной внутри области точка в этой области; С — любой контур, находящийся в данной области, охватывающий точку Согласно формуле Коши в указанной выше области интегрирование по любому контуру С равносильно интегрированию по контуру представляющему собой окружность радиуса с центром в точке (см.рис.2.19,в).

На основе использования формулы Коши строится доказательство того, что регулярная в области функция которая является непрерывной в замкнутой области имеет производные всех порядков, являющиеся регулярными в функциями.

Формула Коши позволяет выразить значение регулярной функции в любой точке области через ее значение на контуре. Если в интеграле, указанном в правой части формулы (2.159), заменить произвольной непрерывной на контуре функцией то получим интеграл, называемый интегралом типа Коиш. В общем случае выражение теряет смысл при приближении точки к точке границы. Однако при некоторых условиях, накладываемых на контур и функцию соответствующий предел существует и выражается через главное значение интеграла типа Коши (подробнее об интеграле типа Коши и главных его значениях см. [94, с. 169-171], [144, с. 64-66]). Принимая обозначение для подынтегрального выражения при записи главного значения интеграла типа Коши, в некоторых источниках для главного значения указанного интеграла принимают обозначение

Формула Коши используется также при выводе указываемых далее формул разложения функции в ряд Тейлора и в ряд Лорана.

Формула разложения в ряд Тейлора при

применима к функции регулярной внутри круга сходимости с центром и радиуса есть любой, находящийся внутри круга сходимости, охватывающий точку контур. Когда говорят о круге сходимости и радиусе сходимости имеют в виду, что ряд сходится равномерно и абсолютно для находящихся внутри круга сходимости, и расходится, если точка находится вне этого круга (ряд сходится указанным образом при и расходится при Понятие равномерной сходимости связано со следующим. Если есть рассматриваемая точка области, то необходимым и достаточным условием сходимости ряда является возможность нахождения зависящего от числа N такого, что, каким бы ни было наперед заданное при всех соблюдается условие где суммы соответственно тип членов ряда. Говорят, что ряд равномерно сходится в области если может быть подобрано одно единое для всей области значение Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится и ряд, состоящий из модулей его членов.

В ряд Лорана производится разложение по положительным и отрицательным степеням функции регулярной в кольце между двумя

концентрическими окружностями с центром в точке и радиусами :

где

Такое разложение в ряд возможно при условии, что где соответственно внешний и внутренний радиусы сходимости ряда Лорана. В ряде Лорана (2.161) можно выделить части с отрицательными и положительными значениями Первая из них назьшается главной, а вторая — правильной.

3. Большое значение для приложений ТФКП имеет понятие вычета. Рассмотрим функцию не являющуюся регулярной при но регулярную во всех других точках области включая и те из них, которые находятся на контуре С и находятся в окрестности точки Точка назьшается изолированной особой точкой. Вычетом функции , соответствующим точке или вычетом ее в точке называют коэффициент при в разложении в ряд Лорана функции окрестности точки Для вычета в точке приняты обозначения Согласно формуле (2.161) имеем

Если регулярна в области и на ее контуре С, кроме конечного количества изолированных особых точек то, охватив каждую из них контуром так, чтобы эти внутренние по отношению к С контуры не пересекались (рис. 2.20,б), имеем, в соответствии с формулой (2.162), для вычета в каждой из этих точек соответственно

Принимая во внимание уравнение (2.158), получаем

Это есть основная теорема теории вычетов.

Определив вычеты во всех изолированных особых точках функции находят по формуле (1263) величину

Встречаются изолированные особые точки различного вида. Особая точка, в которой при любом способе приближения к ней называется полюсом. Например, для точка простой полюс, а для эта же точка является полюсом кратности.

Рис. 2.20

В общем случае вычеты находятся при разложении функции в ряд Лорана. Если изолированные особые точки представляют собой полюсы то вычеты сразу определяются с помощью следующих простых формул:

для простого полюса в точке

для полюса кратности в точке

Считается, что при комплексная переменная переходит в бесконечно удаленную точку. Понятие единственной бесконечно удаленной точки поясняется при изображении комплексных чисел на поверхности сферы, оно принято и для обычного представления комплексных чисел на плоскости. Конечную часть комплексной плоскости вместе с бесконечно удаленной точкой называют полной комплексной плоскостью. Для однозначной регулярной функции бесконечно удаленная точка рассматривается как изолированная особая точка, если существует такое значение что при функция не имеет особых точек. Вычет функции при определяется как интегрирование производится в отрицательном направлении по контуру С (в зтом случае внешность контура остается слева) заключающему внутри себя все особые точки лежащие в конечной части плоскости. Для функции, регулярной на всей конечной плоскости, кроме конечного количества особых точек, сумма вычетов в этих точках равна вычету взятому с обратным знаком.

При изучении функций комплексного переменного часто бывает необходимым знание не только полюсов функции, но и ее нулей. Нуль — это

Рис. 2.21

точка для которой (нули функции являются корнями уравнения

В дальнейшем будут сделаны ссылки на вывод известный как лемма Жордана. Существуют различные формулировки леммы Жордана (см., например, с. 132, 133 в книге [109]). Приведем ее формулировку, используемую при исследовании систем автоматического управления (см. если равномерно при в замкнутой области, лежащей слева от прямой (рис. 2.21, а) то

где — полуокружность, расположенная слева от прямой с центром в точке любое вещественное число.