В. Двумерные преобразования Уолша и Хаара.

Двумерные функции Уолша задаются на квадратах с интервалами отсчета по одной и другой оси [0, 1), [0, 1) или причем количества участков, на которых функция постоянна, могут быть различными по оси к и по оси Для таких участков, которые берутся вдоль одной и другой оси, двумерные функции Уолша принимают, как и одномерные функции Уолша, значения 1 или —1. Имеется следующая связь между двумерной и соответствующими одномерными функциями Уолша: Двумерные функции Уолша, заданные так, как было указано выше, являются ортонормированными. Двумерным функциям Уолша присуще свойство мультипликативности, которое выражается следующим образом:

причем Знаком здесь обозначено, как это и раньше делалось, сложение по модулю два.

Используя двумерные функции Уолша, образуют двумерные базисные системы, которые могут быть построены для функций Уолша, упорядоченных тем или другим способом. В качестве примера в книге [98] рассмотрены упорядоченные по Пэли функции двумерной системы, определенные на квадрате [0,1), [0,1).

Рассмотрим функцию с интервалами определения По системе двумерных базисных функций разложение функции в ряд Уолша в общем виде представляется так:

где

Равенство Парсеваля в данном случае записывается следующим образом:

Так же, как это было для одномерных функций Уолша, используются усеченные двумерные ряды Уолша. Таким представлением для непрерывной функции является

Могут быть различными или одинаковыми количества участков, на которые разбивается интервал определения, если следовать вдоль одной и другой оси.

Практически важным является использование ранее указанного соотношения между двумерной и соответствующими одномерными функциями Уолша. С учетом этого соотношения оказывается возможным следующее представление спектра в двумерном базисе Уолша:

Таким образом определение двумерного спектра Уолша сводится к определению значений спектра по одной из переменных величин при фиксированных значениях другой и последующем одномерном преобразовании Уолша по второй переменной величине найденных ранее значений спектров. Этот прием применяется при цифровой обработке двумерных сигналов. Каждое из таких одномерных преобразований выполняется по правилам, указанным в гл. IV.

Аналогичным является и определение дискретных двумерных функций Уолша [98]. При двумерная дискретная функция Уолша

Двумерное дискретное преобразование Уолша

двумерный же дискретный спектр рассчитывается по формуле

Практически при цифровой обработке информации значение находится путем двукратного выполнения однократного преобразования Уолша для одной и другой координаты:

или

При рассматриваемых преобразованиях рекомендуется использовать равенство Парсеваля, представляемое здесь в форме

для контроля правильности выполнения операций при переходе от исходного задания дискретной функции двух переменных величин к спектральному ее выражению [98].

Двумерные преобразования Хаара в принципе выполняются так же, как и двумерные преобразования Уолша. Поэтому ограничимся тем, что было сказано выше об этих последних преобразованиях.