ГЛАВА IV. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ УОЛША И ХААРА, ПРИМЕНЕНИЕ ИХ ПРИ РАЗРАБОТКЕ И ИССЛЕДОВАНИИ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И СВЯЗИ

§ 1. Введение

В гл. I уже было сказано о том, что кроме тригонометрических ортогональных функций могут применяться в качестве базисных и другие ортогональные функции. В связи с развитием вычислительной техники особое значение приобрело использование кусочно-постоянных функций, основными среди которых являются функции Уолша и Хаара, Они будут описаны в § 2. Однако, с тем чтобы было сразу же ясно, почему получили широкое применение выполняемые на основе этих базисных функций преобразования, укажем их особенности, сравнивая их с ранее рассмотренными преобразованиями Фурье. Говоря о преобразованиях Фурье, будем иметь в виду традиционные способы их выполнения и пока не будем касаться способов, основанных на использовании теоретико-числовых и полиномиальных преобразований. О связи последних с дискретными преобразованиями Уолша и Хаара будет сказано особо в § 4 этой главы.

При гармонических (синусоидальных, косинусоидальных) воздействиях колебания сохраняют свою форму при прохождении их через любую линейную систему. Выходные колебания могут отличаться при этом от входных только по амплитуде и по фазе. На этом основан частотный метод исследования , о котором шла речь в гл. II. Эффективность использования в качестве базисных функций синусоид и косинусоид или же связанных с ними экспоненциальных функций была показана в гл. III и в отношении преобразования последовательностей. Имеются классы функций, для которых наиболее целесообразно применение рассмотренных нами ранее преобразований Фурье.

Однако преобразованиям Фурье присущ недостаток, которого лишены преобразования Уолша и Хаара. Этот недостаток заключается в следующем. В области управления и связи, а также и в других областях техники часто бывает важным сведение к минимуму времени машинного выполнения производимых действий. В отношении преобразований Фурье явилось достижением создание БПФ, позволившее существенно ускорить обработку информации. Но и при этом сохраняется необходимость в выполнении большого количества умножений, занимающих большую часть времени при машинной обработке данных. Операции умножения производятся раз за разом при разложении функций в ряд Фурье и при выполнении интегрального преобразования Фурье, Например, при разложении функции в ряд Фурье с применением формулы (2.12) коэффициент ряда

рассчитывается по формуле (2.6):

Практически величина этого интеграла при данном к определяется следующим образом. Вводится в ЭВМ ряд значений на протяжении периода обычно достаточно большое количество их. Каждое значение умножается на при соответствующем Вычисляется сумма всех значений по которой определяется приближенное значение интеграла и находится затем величина Для вычисления при других к нужно при каждом данном умножить каждый раз на функцию имеющую уже другую величину. Так же определяются и коэффициенты в формуле (2.6).

Следует иметь в виду и то, что, хотя для ряда функций достаточно удовлетворительная их аппроксимация получается уже при сравнительно небольшом числе коэффициентов ряда Фурье (такие случаи мы в основном до сих пор и рассматривали), для многих радиотехнических сигналов чаще всего не выполняется условие быстрой сходимости ряда Фурье. По заключению автора книги [18] "наиболее распространенные в радиотехнике системы не отвечают этому условию, и для удовлетворительного воспроизведения формы сигналов обычно необходимо суммировать большое число гармоник". При приближенной аппроксимации рассматриваемой здесь функции и множества других функций тригонометрическими рядами Фурье, а также при других рассмотренных в гл. II и видах обработки информации операцию умножения приходится иногда производить миллионы и миллиарды раз и это занимает основную часть машинного времени.

Кусочно-постоянная базисная функция имеет на выделенном интервале времени постоянное значение. Для того же, что и ранее рассмотренный, примера разложения функции в ряд имеем здесь следующее. В формулу коэффициента разложения в ряд вместо ранее указанной базисной функции к входит величина, являющаяся для данного интервала разложения постоянной. Если при всех к на заданном интервале значением базисной функции является 1 или —1, то в формуле вычисления коэффициента ряда вместо выражения будут соответственно 1 или —1. Отпадает необходимость в выполнении каждый раз указанной операции умножения. Если же базисная функция на данном интервале времени равна нулю, то равен на всем этом интервале и определяемый коэффициент ряда. При приближенном вычислении коэффициентов разложения функции в ряд по базисным функциям, принимающим значения или 0, должны производиться лишь существенно более простые, чем умножение, операции сложения и вычитания. Если даже кусочно-постоянные базисные функции на отдельных интервалах принимают постоянные значения, отличные от указанных выше, и при вычислении коэффициентов ряда производится умножение функции на постоянный, единый для всего интервала коэффициент, это намного проще, чем умножение на меняющиеся от точки к точке значения косинуса или синуса. Высказанные соображения относятся и к использованию кусочно-постоянных функций при

выполнении интегральных преобразований. В значительном упрощении и ускорении обработки информации смысл применения в качестве базисных кусочно-постоянных функций, среди которых, как уже было сказано, основными являются функции Уолша и Хаара.

По форме изложения эта глава отличается от предшествующих. В том, что является общим для преобразований Уолша, Хаара и преобразований Фурье, используется ранее сказанное о последних преобразованиях. Для разделов, в которых указаны примеры применения и рассмотрены вопросы обобщенных преобразований, принята следующая форма изложения: дается общая характеристика состояния проработки соответствующих вопросов и более подробно рассматриваются лишь некоторые из них.

В § 2 приводятся сведения о функциях и преобразованиях Уолша и Хаара. Предварительно дается более детальное представление о кусочно-постоянных функциях и рассматриваются кусочно-постоянные функции Радемахера, имеющие самостоятельное применение, но главным образом представляющие интерес в связи с их использованием при формировании функций Уолша и Хаара. В § 3 описывается применение преобразований Уолша и Хаара. Основная часть § 3 отведена для более подробного разбора одного из примеров: это использование преобразований Уолша и Хаара, в том числе и соответствующих быстрых преобразований (БПУ, БПХ), при анализе и синтезе логических функций, выполняемых элементами вычислительных устройств и устройств управления и связи. При описании обобщенных преобразований, частными случаями которых являются преобразования Уолша, Хаара и преобразование Фурье, текст разнесен на два параграфа: в § 4 приведены общие сведения о методах обобщенных преобразований, в § 5 рассмотрен особо матричный метод их выполнения.

Краткость изложения указанных вопросов в какой-то мере компенсируется подробными ссылками на литературные источники, обзору которых посвящен § 6.