§ 4. Обобщенные методы преобразований Уолша, Хаара и других ортогональных преобразований

А. Значение разработки обобщенных методов ортогональных преобразований.

Говоря об ортогональных преобразованиях, имеем в виду преобразования, выполняемые при использовании ортогональных функций, о которых упоминалось в п. А § 2 гл. I. Необходимость применения ортогональных функций при обработке информации была пояснена в п. Б § 3 гл. II.

Все более широко ведутся работы, связанные с созданием и изучением обобщенных методов ортогональных преобразований, частными случаями которых являются методы выполнения отдельно взятых преобразований Фурье, Уолша, Хаара. Некоторые из этих методов были известны и раньше, но прежде в инженерной практике им не уделялось достаточного внимания.

Разработка обобщенных методов ортогональных, преобразований имеет двоякое значение. В теоретическом плане она представляет интерес, так как позволяет оценить то, что является общим для различных видов преобразований, и позволяет наметить общие подходы к их выполнению. В части же, касающейся рассматриваемых в этой книге практических решений, интерес к обобщенным методам преобразований определяется следующим. Методы преобразования, являющиеся лучшими при одних условиях, могут быть недостаточно удовлетворительными при их использовании в других условиях. Нужно иметь возможность оперативно переходить от выполнения преобразований одного вида к преобразованиям других видов. Поясним это примером [139]. При аппроксимации методом Фурье функции, показанной слева в верхней части рис. 4.13, а, получаются приближенные характеристики, показанные на этом рисунке тоже слева при 87 членах разложения и внизу при 134 членах разложения. Справа на этом же рисунке показаны приближенные характеристики, полученные методом Уолша при 131 члене разложения и ниже при 244 членах разложения. В верхней части на рис. 4.13,6 представлена другая исходная функция, ниже показана ее аппроксимация методом Уолша при 24 членах разложения, ниже ее же аппроксимация методом Фурье при 18 членах разложения и еще ниже при 44 членах разложения. Рассматривая эти рисунки, можно сделать заключение о том, что в первом случае лучшие результаты дает метод Фурье, во втором — метод Уолша. Следует, правда, учитывать, что благодаря указанным в § 1 этой главы преимуществам разложения по базисным функциям Уолша оно чаще всего может выполняться более экономно и быстрее даже тогда, когда берется относительно большое число членов разложения.

Иногда высказывается мнение (для примера сошлемся на доклад R. Lackey, опубликованный в [134]) о том, что основанный на использовании функций Уолша анализ должен применяться в основном в случаях, когда спектральный анализ Фурье дает медленно сходящиеся ряды с большим числом слагаемых. Нужно иметь в виду и то, что для некоторых применений является важной возможность автоматической физической реализации преобразований Фурье в соответствующих средах; об этом будет сказано в следующей главе при рассмотрении распространения оптических сигналов.

В отношении машинной обработки сигналов можно с учетом сказанного выше сделать следующие практические выводы. Оператор, зная с машинной обработкой функций какого рода придется преимущественно иметь дело, должен задать программу более экономного вида преобразований, а при обработке функций другого вида должен иметь возможность перейти к программе преобразований с использованием иных базисных величин. Изучение обобщенных методов преобразований позволяет выяснить части программы тех и других преобразований, которые могут быть общими, что упростит процедуру указанного перехода. При создании в будущем, возможно недалеком, интеллектуальных компьютеров можно рассчитывать на то, что они смогут без участия человека производить предварительный анализ преобразуемых функций и определять, какими методами должна производиться их цифровая обработка.

Рис. 4.13

Рис. 4.14

Важно знать, в какой мере может быть общим выполнение рассматриваемых преобразований, и по другой причине. При некоторых видах используемой в области управления и связи обработки информации вычислительными устройствами должны одновременно выполняться действия в различных базисах. Примером может служить использование функции Уолша для формирования синусоид и косинусоид при выполнении преобразований Фурье. Вопрос этот имеет большое практическое значение, так как оказалось, что таким образом могут наиболее точно и стабильно формироваться базисные тригонометрические функции. Образование тригонометрических функций — один из основных примеров применения функций Уолша, описанных в книге [18]; этому вопросу посвящен ряд работ, на которые сошлемся в § 6. В качестве иллюстрации на рис. 4.14 показана аппроксимация синусоиды всего лишь четырьмя функциями Уолша [18]. Увеличением числа спектральных компонентов достигается улучшение аппроксимации.

Обобщенные методы используются для изыскания новых, более эффективных видов преобразований. В нашей книге будет идти в основном речь об обобщенных методах, частными случаями которых являются методы выполнения преобразований Фурье, Уолша, Хаара, имеющих главное значение для области управления и связи, да сейчас и для науки, и техники в целом. Вообще же применяется много и иных ортогональных преобразований: ортогональные преобразования на основе использования полиномов Чебышева, Лежандра, Лагерра, Эрмита, преобразования Карунена-Лоэва (см. [8, 18]) и другие. Приведем пример решения,

позволившего расширить область рационального использования функций Уолша.

Существенным этапом развития теории и техники преобразований Уолша явилось ранее упоминавшееся нами разделение Хармутом упорядоченных по Уолшу функций Уолша на функции, которым по аналогии с синусоидами было придано обозначение и по аналогии с косинусоидами - обозначение Введенное при этом понятие секвенты или частости, отвечающее понятию частоты для тригонометрических функций, позволило по-новому представить возможность использования преобразований Уолша. В предисловии к переводу книги Хармута [116] Л. М. Сороко так характеризует данный этап развития теории преобразований Уолша в связи с созданием принципов секвентивного анализа: "Спокойные периоды развития науки и техники время от времени сменяются бурными и драматическими. Чаще всего общую гармонию нарушает необычная идея, которая, получив подтверждение на практике, приводит к рождению нового направления и активно воздействует на многие области техники и физики. Именно к такой категории идей можно отнести представления секвентивного анализа. В основе секвентивного анализа лежит понятие "секвента". По определению секвента равна числу изменений знака несинусоидальных функций за единицу времени. Типичным примером несинусоидальных функций являются функции Уолша".

Некоторые из обобщенных ортогональных преобразований имеют и самостоятельное применение. Примером служит рассматриваемое в п. В ортогональное преобразование Виленкина-Крестенсона. частными случаями которого являются преобразования Уолша и Хаара. Данное преобразование используется при создании способов построения и при анализе устройств автоматики, содержащих элементы, реализующие функции троичной логики или -ичной логики при . В § 2 было показано, что функции Уолша и Хаара применяются в отдельности лишь при анализе и ситезе устройств двоичной логики.

Говоря далее об обобщенных преобразованиях, будем иметь в виду следующие вопросы: общие методы выполнения различных преобразований; сравнение различных преобразований для выяснения общих их характеристик; операции перехода от преобразований одного вида к другим преобразованиям; использование преобразований какого-либо типа при выполнении других преобразований. При этом будут рассмотрены преобразования Фурье, Уолша, Хаара с учетом возможности различных форм их представления.