Г. Применение частотных характеристик линейной части системы при изучении близких к синусоидальным автоколебаний в нелинейных системах управления.

Автоколебаниями называются незатухающие колебания, возникающие в системе в отсутствие внешних воздействий на нее. Автоколебания могут появляться только в нелинейных системах.

Во многих случаях замкнутая нелинейная система может быть представлена так, как показано на рис. 2.10, а, где I — безынерционный нелинейный элемент (имеющий статическую характеристику, показанную на рис. 2.10, б или показанную на рис. 2.10, в, или же нелинейную статическую характеристику иного вида) линейная часть системы, содержащая инерционные элементы, АФЧХ которой такого, например, вида, как изображенная на рис. место измерения колебаний.

Часто наблюдаются на выходе линейной части системы автоколебания, близкие по своей форме к синусоидальным. Возможно их возникновение лишь при условии, что линейная часть системы выполняет функции фильтра гармоник: пропускает первую гармонику спектра гармоник, получаемого на выходе нелинейной части системы, и подавляет все гармоники более высокого порядка. Правда, в принципе возможно возникновение автоколебаний рассматриваемого вида и в том случае, если линейная часть системы представляет собой резонатор для какой-либо из гармоник указанного спектра, а амплитуды всех других гармоник пренебрежимо малы. Однако в системах автоматического управления обычно это не имеет места.

При отфильтровывании линейной частью системы всех гармоник, кроме первой, соблюдается, как говорят, условие гармонического баланса: можно считать, что в спектре нелинейной части имеется только эта гармоника и этим объясняется возникновение автоколебаний рассматриваемого вида. Метод исследования таких автоколебаний называется методом гармонического баланса. При возникновении этих автоколебаний удовлетворяется

Рис. 2.10

равенство

В уравнении линейной части системы, изображаемая так же, как это делалось нами раньше, на комплексной плоскости (рис. 2.10, г); характеристика нелинейного элемента, которая тоже может быть изображена на комплексной плоскости, как показано на рис. Принципиальное ее отличие от характеристики заключается в следующем. Тогда как из точек характеристики соответствует определенной частоте колебаний и эта характеристика не зависит от амплитуды колебаний, каждая точка характеристики отвечает определенной амплитуде колебаний (обычно берется отношение амплитуды к характерному параметру нелинейного элемента) и данная характеристика не зависит от их частоты. Формулы, используемые при построении характеристик для типовых нелинейных элементов, приведены в курсах теории управления (см., например, в книге [77] с. 468,469, на которых указаны расчетные формулы для определения величин , относящихся к различным типовым элементам). Применяется та из них, которая соответствует заданной исходной статической нелинейной характеристике. На рис. 2.10, г изображена характеристика для того случая, когда исходная статическая характеристика петлевая (гистерезисного типа).

С помощью показанного на рис. графика решается при проектировании системы вопрос о возможности возникновения автоколебаний рассматриваемого вида, и если следует ожидать их появления, то определяются их частота и амплитуда. Делается это следующим образом.

Замечая, по какую сторону от точки пересечения характеристик и ложатся точки последней характеристики, для которых амплитуды по мере удаления от точки пересечения изменяются в сторону увеличения, делают суждение об устойчивости или неустойчивости цикла колебаний. В рассматриваемом примере, иллюстрируемом рис. устойчивыми колебаниями, т.е. собственно актоколебаниями, являются только те, которые отвечают лишь одной из двух точек пересечения кривых. Вдоль кривой наносится шкала частот, а вдоль кривой шкала амплитуд. Для точки пересечения этих кривых, отвечающей автоколебаниям, по первой из указанных шкал прочитывается значение частоты колебаний, а по второй из них — значение их амплитуды.

Если же близкие к синусоидальным колебания обнаруживаются при проведении опыта и ставится задача их устранения, то для этого достаточно изменить параметры линейной части системы так, чтобы АФЧХ стала такой, как показано пунктирной линией на рис. 2.10, г. При этом АФЧХ линейной части системы и характеристика нелинейной ее части не пересекаются и, следовательно, нет точки, соответствующей автоколебательному режиму.

На основании сказанного можно судить о том, как используется в теории нелинейных систем АФЧХ линейной части системы, представляющей собой преобразование Фурье для отношения выходной величины к входной величине в линейной части.

Поскольку было упомянуто об исследовании автоколебаний, заметим, что в нелинейных системах могут возникать и автоколебания другой

формы — не синусоидальные. Но для их изучения применяются иные методы, которых мы не будем касаться.