В. Функции Хаара.
Выше было отмечено, что широкому применению функций Уолша способствовало то, что они принимают только одну из двух значений 
или —1, и это удобно для цифровой обработки информации на ЭВМ. Первые две функции Хаара — такие же, как и соответствующие функции Уолша, упорядоченные по Уолшу или по Пэли. Каждая из других функций Хаара принимает на разных участках интервала ее задания три различных значения, одно из которых нуль, а два других в начально предложенной системе функций Хаара разные для различных подразделений системы. Однако иногда считается, что во всех случаях функции Хаара принимают на отдельных участках одно из трех значений 
что также удобно для выполнения цифровой обработки на ЭВМ [42, 74,92].
Наибольшее применение имеют функции Уолша. Однако иногда оказывается более целесообразным использование в качестве базисных функций Хаара. Это связано с тем, что, выполняя рассматриваемые далее преобразования, при принятии за базисные функций Хаара иначе учитывают поведение исходной функции, когда определяют коэффициенты разложения последней, чем это делается при использовании в качестве базисных функций Уолша. В последнем случае учитывается поведение исходной функции во всех точках ее задания, при применении же базисных функций Хаара — только в нескольких мало удаленных одна от других точках. Сказанное выше поясняется приводимым далее описанием функций Хаара и примерами выполнения преобразований, которые будут рассмотрены в 
. В § 3. Благодаря указанному свойству функций Хаара в некоторых случаях их использование оказывается более экономным.
Функции Хаара определяются при каждом значении 
(которое тоже будем здесь считать заданным в интервале 
двумя величинами, для которых примем обозначения 
Первое из них является номером подразделения в системе функций Хаара, второе - номером функции в соответствующем подразделении. Значения функций на участках, на которых эти значения отличны от нуля, различны для разных подразделений. Для функций Хаара приняты обозначения 
или 
Будем пользоваться последними обозначениями.
Первые восемь функций Хаара представлены на рис. 4.8. В правой части рис. 4.8 изображена матрица дискретных значений функций Хаара. Каждая строка матрицы отвечает соответствующей функции.
Рис. 4.8
Для формирования N функций Хаара используется следующая формула:
где 
Иногда функции Хаара графически представляются иначе, чем это показано на рис. 4.8: для всех функций там, где они отличны от нуля, указываются в качестве их значений 
или —1. С таким изображением ненормированных функций Хаара встретимся в § 3, рассматривая применение их при анализе и синтезе логических функций, выполняемых микроэлектронными вычислительными устройствами и устройствами систем управления и связи.
Функции Хаара могут быть получены путем преобразования функций Уолша. Между функциями Хаара и упорядоченными по Пзли функциями Уолша имеется следующая зависимость:
Далее, определяются по индукции [23]. Формируется функция
где 
и принимается, что 
для всех в, кроме 
где 
нечетное целое число, М - произвольное целое число.
Знак коэффициента а определяется с помощью матрицы коэффициентов, способ построения которой описан в книге [23] (см. в последней с. 24).
