§ 2. Области применения

А. Математика. Физика. Химия.

Ряды фурье используются при решении способом Фурье (способ стоячих волн) уравнений математической физики. Вопросы решения этих уравнений рассмотрены в книгах [114, 151, 172]. Метод Фурье решения дифференциальных уравнений в частных производных применяется при разработке новых направлений в теории систем. Примером может служить монография [28]. В книге [91] упоминается об использовании преобразования Фурье при решении интегральных уравнений фредгольмовского типа. Работа [197] дает представление об использовании алгоритма БПФ при решении системы уравнений с симметричной положительно определенной матрицей Теплица. В статье [170] приведены сведения о разработке алгоритма быстрого преобразования фурье, используемого для выполнения операции умножения тригонометрических полиномов. В статьях [134, 152, 184] изложена методика решения дифференциальных и интегральных уравнений с применением преобразований Уолша. Представление об использовании функций Уолша при решении дифференциальных и интегральных уравнений дает и книга [88]. Здесь один из разделов главы "Обработка сигналов с использованием функций Уолша" посвящен также применению преобразований Адамара при решении систем алгебраических уравнений. В работе [164] показана возможность использования функций Уолша при решении матричных уравнений Риккати.

Дискретное преобразование Фурье применяется при решении некоторых задач теории функций комплексного переменного [124]. Предложено использовать преобразование Хаара для приближенного вычисления значений аналитических функций [8]. Фурье-преобразование и преобразование Уолша используются при разработке спектральной теории графов и гиперграфов [12,115].

По отзывам специалистов приложения новых методов выполнения быстрых ортогональных преобразований оказываются полезными и для развития отдельных областей математики. Так В.Г. Лабунец, говоря о цифровой обработке сигналов (ЦОС), в книге [65] отмечает следующее: "Алгебраическая трактовка БПФ удобна тем, что она создает основу для единого подхода к построению быстрых алгоритмов широкого класса ортогональных преобразований. Например, теории характеров конечных абелевых групп вполне достаточно для того, чтобы охватить быстрые преобразования Фурье, Уолша, Крестенсона, Рейдера и др. Заметим, что такие контакты абстрактной алгебры и ЦОС оказываются плодотворными для обеих теорий. Специалистов по ЦОС они вооружают новыми методами

решения их задач, а математикам подсказывают актуальные направления развития теории. В результате этих плодотворных взаимных усилий строится современная прикладная алгебра, которая в значительной степени вызвана к жизни задачами ЦОС, подобно тому, как математический анализ был рожден задачами механики и аналоговой техники".

Упоминая первоначально в этом разделе об использовании ортогональных преобразований при решении уравнений, мы имели в виду их машинное решение. Эффективной является и оптическая обработка информации, рассмотренная нами в гл. V и VI. Говоря о возможностях оптической обработки и характеризуя класс выполняемых оптическими методами математических операций, авторы книги [32] указывают на то, что "методы оптической обработки информации позволяют практически мгновенно выполнять операции умножения и преобразования Фурье комплексных функций двух переменных. Класс математических операций, которые могут быть реализованы с использованием только двух базовых операций, а именно, умножения и преобразования фурье, оказывается довольно широким и включает в себя операции интегрирования и дифференцирования функций, свертки и корреляции, а также различные интегральные преобразования".

В области физики и химии применяются математические методы, основанные на использовании рассматриваемых нами преобразований. Вместе с тем последние широко используются при постановке опытов и обработке экспериментальных данных. Это будет дальше проиллюстрировано примерами.

Однако до этого сделаем общие замечания, касающиеся применения здесь спектральных приборов, о которых говорилось в гл. VI. Как отмечалось, в процессе их работы выполняется преобразование Фурье, а для некоторых видов спектрометров используется преобразование Уолша (ада-мар-спектрометры). Спектральные приборы используются при фундаментальных исследованиях, в ходе которых раскрываются законы строения материи. Спектральными методами изучается структура атомов и молекул, находятся атомные константы. Одним из важных приложений спектрометрии является изучение плазмы. Спектрометрия широко применяется и в технике. Различают непрерывные, линейчатые и полосатые спектры испускания, получаемые от самосветящихся тел [54, 119]. Первые из них дают нагретые до высокой температуры твердые и жидкие тела, вторые — пары и газы. Линейчатые спектры получаются при излучении отдельных атомов, полосатые — при излучении молекул. Для каждого химического элемента характерен линейчатый спектр особого вида. Изучение линейчатых спектров позволило установить закономерности строения электронных оболочек атомов различных химических элементов. При исследованиях, проводимых в области физики и химии, изучаются и спектры поглощения, получаемые для прозрачных веществ при поглощении части падающего на них излучения. При прохождении через такие вещества белого света часть цветов исчезает (поглощаются в основном лучи, которые данное вещество само может излучать), получаются темные линии или полосы поглощения.

Большое значение для современной физики и химии имеет молекулярная фурье-спектроскопия, которая используется для изучения строения

вещества. Автор книги [17] отмечает, что до недавнего времени "лишь для видимой и ультрафиолетовой областей можно было сразу получить весь спектр на фотопластинке. Сейчас же с помощью нового метода фурье-спектроскопии можно сразу и практически мгновенно записывать весь спектр также и радиочастотной, микроволновой и инфракрасной областях". Фурье-спектроскопия осуществляется так, как было написано у нас в гл. VI, где тоже были сделаны ссылки на указанную выше книгу. Однако имеются особенности применения фурье-спектроскопии при различных физических исследованиях, в упомянутой книге специальные разделы, посвященные фурье-спектрометрии, имеются в главе "Инфракрасная спектрометрия", а в главу "Спин-резонансная спектрометрия" включены разделы "Фурье-спектрометрии ЯМР", "Многоимпульсная фурье-спектрометрия: спин-спиновая релаксация", "Многоимпульсная фурье-спектро-метрия: спин-решеточная релаксация".

Применяются при физических исследованиях и в химии так называемые методы дисперсионной фурье-спектрометрии [128]. Широко применяется фурье-спектрометрия для исследований упомянутого выше ядерного магнитного резонанса (ЯМР), дающих возможность изучать состав вещества, определять его молекулярное и кристаллическое строение [67,68,129, 187].

Преобразования Фурье и Уолша, корреляционные методы обработки информации используются и при других исследованиях в области физики и химии. Проиллюстрируем это примерами. Статьи [161, 194, 195] посвящены разработке и применению методов фурье-масс-спектрометрии. Особенности применения быстрого преобразования фурье при экспериментальном исследовании дифракции на диэлектрических цилиндрах рассмотрены в статье [66]. В работе [185] рассмотрено использование преобразования Уолша (Адамара) при измерении распределения ядерных частиц. В работе [26] описан метод анализа по функции автокорреляции изображения треков на снимках в пузырьковых камерах, что, как отмечается, позволяет определить ионизационные потери частицы в рабочем объеме камеры, определить скорости и массу частиц.

Приведем также следующие примеры. Преобразования Фурье применяются при разработке спиновых анализаторов спектра и при исследовании ядерного спина в магнитном поле [57, 171]. Разложение в ряд фурье опытных характеристик позволяет, согласно данным статьи [193], более эффективно использовать результаты тонкослойной хроматографии. В работе [78] рассмотрено применение фурье-анализа при исследовании распределения кристаллитов.

Для многих приложений в области физики является важной возможность регистрации, восстановления и преобразования с помощью объемных спектральных голограмм очень коротких световых импульсов (импульсная фурье-оптика), что получило освещение в работах [69,70]. В последней из них сказано следующее: "Временное разрешение рассмотренных пространственно-временных преобразований во всех случаях равно длительности импульса, с помощью которого формируется решетка, и может достигать, например,

Ряд работ посвящен специальным вопросам автоматического управления аппаратурой, применяемой при исследованиях, которые проводятся

физиками и химиками. В качестве примера укажем статьи [127] и [158], в первой из которых рассмотрена автоматизация процессов атомной спектроскопии, во второй — использование микроЭВМ для управления взаимодействием между хроматографом и фурье-спектрометром. О качествах микроспектрофотометрических устройств, используемых в химии, можно судить по данным, приведенным в книге [81], согласно которым микро-спектрофотометрические приборы достигли высокой степени совершест-ва и позволяют определять незначительное (менее ) содержание химических веществ в препаратах.

Рассмотренные преобразования применяются не только при научных исследованиях в области физики и химии, но и при технологическом использовании указанной выше аппаратуры.

Б. Астрономия. Космология.

Спектрометры, описанные в гл. VI, и аппаратуры для обработки изображений, принципы работы которой были рассмотрены в гл. V и VI, широко используются в астрономии. На основе их применения сделаны открытия, позволившие выяснить, что представляет собой Вселенная и каким был путь ее развития. Ниже приводятся сведения о следующих областях применения рассматриваемых методов исследования: изучение Луны, планет и малых тел Солнечной системы; изучение удаленных космических объектов. В конце этого раздела будут упомянуты работы, посвященные созданию акустооптических спектро-анализаторов для радиоастрономии, и будет рассказано об использовании преобразований Фурье при теоретических исследованиях в области астрономии.

Укажем литературу, в которой освещены первые из названных вопросов. В книге [77] приведено полученное с автоматической межпланетной станции изображение поверхности Луны и показано, насколько оно улучшается при специальной его обработке. О картографировании Луны с использованием для радиолокации ЛЧМ-сигналов, их фурье-преобразований упомянуто в книге [97]. В книгах [107,120] приведены сведения о спектральном исследовании и картографировании поверхности Венеры, статья [16] посвящена вопросам цифровой обработки переданных автоматическими межпланетными станциями фотоснимков поверхности Марса. В работе [174], представленной на симпозиуме по применению функций Уолша, рассмотрена возможность использования адамар-спектрометров для исследования атмосферы Юпитера.

Изыскиваются рациональные способы дистанционного изучения Луны и планет. Остановимся на одном из них, описанном в работе [9]. В ней рассмотрены вопросы локации Луны и планет с помощью источника космического излучения. Отмечена возможность проведения радиозондирования грунта и плазмосфер планет с помощью километрового излучения Земли в диапазоне 100-500 КГц, мощность которого, как указывается, составляет около миллиона киловатт. Предложено производить прием отраженного излучения на искусственном спутнике планеты.

С тем чтобы проиллюстрировать постановку и результаты решения возникающих в данной области задач, приведем отрывок из указанной статьи, опуская лишь сделанные в нем ссылки на другие источники: "Особый интерес вызывают перспективы радиозондирования грунта планет. Первые

успешные эксперименты дистанционного определения плотности грунта были осуществлены методом бистатической радиолокации с использованием искусственных спутников Луны В экспериментах определены плотность грунта в экваториальных районах Луны и оценивалась толщина слоя реголита. Методом моностатической радиолокации с космического корабля "Апполон-17" в некоторых участках Моря Дождей были обнаружены слои реголита, погребенные под более плотными базальтовыми породами на глубине В экспериментах бистатической радиолокации Марса была оценена плотность грунта в некоторых районах северной полярной шапки планеты Можно указать также на измерения плотности пород в экваториальных районах Венеры осуществленные методом бистатической радиолокации. Результаты измерений относятся к слою грунта толщиной не более нескольких метров. Дальнейшее развитие радиофизических методов зондирования грунта связано с усовершенствованием методики, в частности, с переходом в диапазон более низких частот, в котором радиоволны проникают на значительно большие глубины. Интересным является также предложение использовать для зондирования грунта и атмосфер планет естественное радиоизлучение космических источников".

В части последнего предложения, заканчивая указанную статью, авторы ее делают следующее заключение: "Из проведенного анализа следует, что зондирование грунта и плазмосфер планет в двухпозиционной системе с использованием километрового излучения Земли возможно уже в настоящее время. При этом при исследовании Луны и Меркурия максимальная глубина зондирования грунта может достигать величины порядка Эксперимент можно проводить на нескольких частотах, используя различные диапазоны для достижения лучшей разрешающей способности по глубине. При изучении Венеры и Марса с помощью километрового излучения Земли возможно зондирование плазмосферы по трассе полета искусственного спутника планеты".

Ряд публикаций был посвящен получению спектрального портрета и фотографий кометы Галлея, сделанных в 1986 г. космическими аппаратами "Вега-1" и "Вега-2". Два комплекса спектральных приборов были установлены на подвижной платформе с телевизионной системой, автоматически наводившейся при пролете около кометы на наиболее яркую внутреннюю часть ее. Получены данные о химическом составе веществ кометы, сделаны фотографии ее ядра. Регистрируя инфракрасное излучение ядра, сумели определить температуру излучающей области. Ведется подготовка к реализации проекта "Фобос" изучения спутника Марса; при этом также используются аналогичные методы.

Для исследования малых тел Солнечной системы (астероидов, спутников Марса и других) используется спектроскопия при всех диапазонах излучения. Возможность определения элементарного состава поверхностей малых тел Солнечной системы с помощью установленного на космическом аппарате -спектрометра оценена в статье [108].

Остановимся более подробно на втором из рассматриваемых в этом разделе вопросов. Спектральный анализ излучения звезд и галактик и обработка их изображений, полученных с помощью снабженных спектрографами телескопов, позволили далеко продвинуться в изучении

Вселенной [53, 96]. Исследования в области "всеволновой" наблюдательной астрономии (в рентгеновском, ультрафиолетовом, оптическом, инфракрасном и радио-диапазонах колебаний) подтвердили выводы, сделанные физиками-теоретиками, и это привело к великим открытиям. Экспериментально подтверждена теория расширяющейся Вселенной, получены знания по истории Вселенной; сделаны выводы, касающиеся происшедшего около 15—20 миллиардов лет тому назад "большого взрыва", с которым связывается начало расширения Вселенной; выяснение законов эволюции звезд и открытие новых по своей природе космических объектов.

Изучение спектров звезд показало, что звезды движутся, перемещаясь относительно Солнечной системы. Для далеких галактик обнаружено смещение линий спектра в сторону красной части спектра, так называемое "красное смещение", указывающее на то, что галактики все более удаляются друг от друга. Вывод этот основан на использовании эффекта Доплера, заключающегося в том, что при удалении источника колебаний от наблюдателя уменьшается частота воспринимаемых им колебаний, тогда как при приближении его к наблюдателю частота воспринимаемых колебаний увеличивается. Красное смещение было открыто в 1929 г. Э. Хабблом, изучавшим спектры звезд. Это открытие было сделано через несколько лет после того, как нашим соотечественником А.А. Фридманом была создана теория расширяющейся Вселенной. Красное смещение сейчас обнаружено примерно для 10 тысяч галактик. Хабблом был установлен закон связи между величиной красного смещения и расстоянием от Земли до удаленных космических объектов.

Эти открытия имеют фундаментальное научное значение. Подтверждение теории расширяющейся Вселенной позволило обоснованно говорить о начале расширения при "Большом взрыве". О том, насколько это достоверно, указывал выдающийся советский ученый академик Я.Б. Зельдович во включенной в сборник [96] статье "Современная космология" (статья первоначально опубликована в 1983 г.). Он пишет о теории Большого взрыва, что "она столь же надежно установлена и верна, сколь верно то, что Земля вращается вокруг Солнца". В упомянутом сборнике опубликованы статьи и других крупных ученых. В одной из них Большой взрыв описан таким образом: Расчеты показывают, что расширение началось примерно 20 млрд. лет тому назад. В ту далекую эпоху Вселенная представляла собой гигантскую "каплю" огромной плотности (квантовый предел плотности вещества). Произошел, как иногда говорят, Большой взрыв, после которого свободное расширение Вселенной продолжается до сих пор. В горячей Вселенной в начале расширения была гигантской не только плотность, но и температура, величину которой сейчас вычислить вряд ли возможно, можно лишь с уверенностью утверждать, что она была много больше

Изумительно то, что с помощью совершенных спектральных приборов, о которых у нас было написано в гл. VI, оказывается возможным анализировать спектры излучений космических объектов, удаленных от Земли на такие расстояния, что свет от них доходит до Земли через миллионы и миллиарды световых лет. Скорость света в вакууме 300 000 км/с. Соответственно большие расстояния проходит свет за минуту, час, месяц, год. О расстоянии до дальних, но видимых еще невооруженным глазом

скоплений небесных тел можно судить по тому, что расстояние от Земли до галактики, названной туманностью Андромеды, измеряется величиной в 2 300 000 световых лет. Сейчас идентифицированы космические объекты, удаленные от нас на расстояние в миллиарды световых лет, и объектом изучения должно стать реликтовое излучение, т.е. излучение, являющееся остаточным от прошлой стадии развития Вселенной, когда она пребывала в очень плотном и горячем состоянии. Спектральный анализ излучения космических объектов позволил получить сведения о том, что происходило во Вселенной в начале ее существования.

Эти исследования дали возможность представить себе и процессы эволюции звезд. Звезды относительно небольшой массы, которых подавляющее большинство, проходят путь от так называемой звезды Главной последовательности через стадию красного гиганта, затем планетарной туманности - к белому карлику. Звезды с большей массой обычно кончают свое существование грандиозным взрывом, названным вспышкой сверхновой звезды. В результате такой вспышки образуются нейтронные звезды и реже черные дыры, для которых гравитация столь велика, что никакой сигнал, в том числе и световой, не может вырваться из них наружу (в отличие от других космических объектов обнаружены лишь реальные кандидаты в то, что можно было бы назвать черными дырами, однако уже сейчас ученые уверенно говорят об их существовании).

В опубликованной в 1986 г. статье А. Боярчука и Я. Зельдовича говорится о том, что ранее были обнаружены объекты, "чья светимость в рентгеновских лучах в десятки и сотни тысяч раз превышала светимость Солнца во всех диапазонах электромагнитного спектра. Причем их размеры оказались весьма компактными — диаметром в несколько десятков километров. Вместе с тем эффективная температура их поверхности составляла десятки миллионов градусов!". Написано также следующее: "компактные рентгеновские источники входят в состав двойных звездных систем, где второй компонент - обычная, как говорят, нормальная звезда. Двигаясь по орбите вокруг нее, рентгеновский источник регулярно "выключался" в моменты затмения его оптической соседкой. Анализ наблюдений позволил сделать вывод, что компактными рентгеновскими источниками в двойных звездных системах служат нейтронные звезды, а в ряде случаев и "черные дыры", т.е. тела, в которые превращаются достаточно массивные звезды, израсходовавшие внутренние источники энергии, закончившие свой жизненный путь. Рентгеновское излучение таких систем вызвано истечением вещества с поверхности нормальной звезды и последующей аккрецией (падением) его в необычайно сильном гравитационном поле нейтронной звезды или "черной дыры". В нашей стране впервые была разработана теория рентгеновских звезд, которая не только объяснила основные свойства этих объектов, но и предвосхитила ряд обнаруженных впоследствии явлений". В числе последних, как установлено, выделение энергии на единицу массы, упавшей на поверхности нейтронной звезды или достигшей окрестностей "черной дыры", в десять раз превышает энерговыделение ядерных реакций, а также открытие явлений, позволивших определить массу "черной дыры" в двойной системе, причем, как указано, "тем же методом теперь определены массы десятков рентгеновских источников".

Проникновение в последние десятилетия в весьма далекие области Вселенной привело к открытию гигантских космических тел — квазаров, некоторые из которых удалены от нашей планеты на 10 миллиардов световых лет. Квазары, участвующие в расширении Вселенной и уходящие от нас с огромной скоростью, излучают больше энергии, чем сверхгигантские галактики: мощность излучения квазаров Хотя квазары получили свое название в связи с тем, что они являются мощными источниками радиоизлучения (quasistellar radio sourse, QSS - квазизвездный источник радиоизлучения), они также являются сильными источниками излучения в ультрафиолетовой и, как было установлено позднее, в инфракрасной области спектра. На последнюю приходится большая часть излучаемой ими энергии. Из 1500 обнаруженных квазаров 14 испускают материю со скоростью, близкой к скорости света (высказывается предположение о том, что движение достигает такой скорости благодаря наличию внутри квазара "суперчерной дыры", которая не имеет возможности поглотить всю энергию, излучаемую квазаром, так что часть ее выделяется во внешнее пространство).

Поразительные успехи космологии, о которых здесь было рассказано, были бы невозможны без создания совершенных приборов спектрального анализа. В прошлой главе при рассмотрении принципа работы фурье-спектрометра говорилось о первичном использовании в них явлений интерференции волн света, а ранее, в гл. V, было сказано о том, что аналогичные явления наблюдаются и для электромагнитных волн других диапазонов. Открытию квазаров способствовало создание интерферометров особого вида: были созданы радиотелескопы, синхронно работающие на противоположных концах земного шара и образующие интерферометры с базисом в 10000 км [53]. Сделаны и другие удивительные открытия. Обнаружено, что те же функции преломления лучей, которые выполняют упоминавшиеся нами в гл. V и VI обыкновенные оптические линзы, в некоторых случаях выполняются массивными небесными телами и даже целыми галактиками. Такие линзы "способны фокусировать волны любой природы (электромагнитные, гравитационные), а также потоки частиц, включая нейтрино" [96].

Многие из оптических и оптоэлектронных устройств, о которых упоминалось в гл. V и VI, создавались в связи с решением задач астрономических исследований. В работе [50] говорится о том, что полученные теоретические результаты были положены в основу при разработке акустического спектроанализатора с высоким разрешением для радиоастрономических применений. Акустооптические анализаторы спектра для радиоастрономии рассмотрены и в работе [51]. В статье [52], посвященной использованию методов оптической обработки в радиоастрономии, рассмотрено выполнение спектрального анализа с помощью акустооптического спектрографа и вопросы моделирования диаграмм направленности корреляционных радиотелескопов. В книге [109], в разделе "Измерение координат телекамерой на ПЗС" в качестве примера использования метода интерполяции указана система ориентации, в которой изображение звезды расфокусируется на -злементную матрицу.

При изучении космических объектов используются и методы теоретического анализа, основанные на применении преобразований Фурье.

В книге [114], в которой рассмотрены архитектура, программирование и алгоритмы параллельных ЭВМ, указано, что основанные на БПФ быстрые методы решения дифференциальных уравнений в частных производных сделали возможным временно зависимое моделирование движения звезд в галактиках. Рассмотрены быстрые двойные преобразования Фурье. Отмечено, что множественное преобразование фурье также применяется при решении родственных задач, которые формулируются как свертки. В качестве примера таких задач указана задача расчета потенциала группы или галактики звезд. В посвященной космическому телевидению книге [24] при построении линейной модели телевизионной системы каждое из звеньев системы и телевизионное устройство в целом трактуется как линейный инвариантный во времени фильтр и делается вывод о том, что при таком подходе возможно использование математического аппарата преобразований Фурье для анализа телевизионных устройств. В работе [74] при рассмотрении решения задачи спектрального анализа на базе БПФ в ассоциативном процессоре, предназначенном для групповой обработки массивов информации, в качестве одной из основных областей применения указана радиоастрономия. Быстрые преобразования Хартли использовались при исследованиях, связанных с изучением солнечных пятен (см. источник [24] в дополнительном списке литературы).

В. Медицина и биология. Исследование психофизических процессов.

Можно привести примеры различных применений рассматриваемых преобразований в медицине. Они широко освещены в литературе. В книге [120] при обсуждении вопросов обработки изображений с помощью ЭВМ отмечена целесообразность использования спектральных компонентов как преобразования Фурье, так и преобразования Уолша при обработке флюорограмм грудной клетки и рентгенограмм сосудов головного мозга. В книге [11] описан эксперимент, проведенный с целью создания системы автоматического распознавания того, является ли электрокардиограмма нормальной, или же в ней имеются отклонения. Использован дисперсионный критерий выбора признаков, причем распределение дисперсий вычислялось с использованием упорядоченного по Адамару преобразования Уолша и других ортогональных преобразований. Авторами работы [162] высказано предположение о том, что данные, получаемые при предложенном ими спектральном анализе пульса человека, отражают не только работу сердца, но и состояние всего организма: нервной системы, мышц, стенок кровеносных сосудов, крови и других систем. Интеграл свертки использован при математическом моделировании процесса коронарной синусоидальной закупорки [180]. Применение функций Уолша. при изучении работы сердца освещено в работах [141, 188]. Предложено использовать преобразование Уолша при передаче электрокардиограмм по телефонной линии связи [179]. Спектральные оценки Уолша применены также при классификации электроэнцефалограмм [160]. БПФ использовано при спектральном анализе электромиограмм, проведенном с целью изучения процессов управления мышцами в норме и в патологии [4, 5]. В книге [60] имеются разделы, посвященные использованию цифровой фильтрации и БПФ при обработке биомедицинских сигналов и биомедицинских изображений, а также при осуществляемой с помощью ЭВМ томографии. Вопросы применения программ цифровой фильтрации при автоматической

обработке электрокардиограмм, алектромиограмм и электроэнцефалограмм рассмотрены и в статье [131].

В медицине используются также рассмотренными нами в гл. VI акусто-оптические и акустоголографические устройства, оптоэлектронные устройства. Примерами формируемых акустическими методами изображений являются звуковое изображение опухоли под кожным покровом, акустическое изображение сосудов в верхней части руки, изображение печени с патологическими изменениями [44].

Другими примерами, приведенными в указанной книге, являются: изображение глазного дна, Полученное методом топографического мультиплицирования, при котором глазное дно рассматривалось под различными углами зрения; полученные в помощью ультразвука звуковые изображения мозга, сердца, брюшины, изображения патологических изменений в тканях. Следующим образом описано получение томографической картины затухания ультразвука при прохождении его через среду (сравните с методом формирования изображений, рассмотренным в гл. V нашей книги): "... за время формирования одной проекции сканирующий приемник должен перекрыть все поперечное сечение объекта в плоскости изображения. Каждая строка в сечении представляет собой одномерный разрез функции распределения интенсивности поля прошедшей звуковой волны или скорости ее распространения. Разрезы плоскости должны быть получены под разными углами относительно линии, перпендикулярной плоскости изображения. Однократное преобразование Фурье одномерной проекции двумерного распределения поля прошедшей через объект звуковой волны математически идентично одномерному сечению двумерного преобразования Фурье функции распределения интенсивности поля, рассеянного объектом. Поэтому из всех одномерных проекций может быть синтезировано двумерное преобразование фурье поля звуковой волны, прошедшей через объект, а затем с помощью обратного преобразования может быть получено искомое поле".

Использование акустической голографии считается перспективным, так как акустические голограммы дополняют то, что дает рентгенография (для некоторых тканей значительно отличаются условия прохождения через них рентгеновских лучей и звука); важно и то, что при снятии акустических голограмм не оказывается радиационных воздействий на организм человека [38]. Оптическая голография используется при изучений применения низких температур в медицине и биологии [82].

Оказалось эффективным использование в области медицины оптико-структурного машинного анализа (ОСМА) биологических объектов. Схема выполнения ОСМА была приведена у нас в гл. VI. Укажем некоторые из применений ОСМА [81]. К числу их относятся: исследование биологических тканей, например, выяснена схема упаковки клеток соединительной ткани печени; машинная классификация изображений гистоструктуры опухолей головного мозга; сравнительный анализ структуры нормальной и патологической ткани головного мозга; исследование при внутреннем облучении распределения поглощенной дозы (с целью количественной оценки степени неравномерности распределения радиоизотопов йода в щитовидной железе); машинный анализ лейкоцитов, при котором средствами автоматики определяется лейкоцитарная формула крови;

корреляционно-спектральный анализ изображений, который рассматривается в упомянутой книге на примере исследования хрящевой ткани и формирования пороков развития скелета; исследование спектральной плотности микроструктуры нейронов.

К числу задач научных исследований в экспериментальной микробиологии, решаемых методами ОСМА, относятся также "измерение, сбор и обработка данных световой микроскопии (счет колоний, определение размеров, формы и других морфометрических показателей); количественная оценка и машинная цитологическая диагностика функционального состояния микробной культуры; объективная классификация микроорганизмов, распознавание их видовой принадлежности с целью отбора мутантов и автоматизации селекционных работ" [81]. Ставятся также такие задачи в области здравоохранения, как задачи массовых профилактических обследований, при которых выполняются экспресс-анализ крови, биопсийного материала, рентгенограмм, термограмм с целью ранней и достоверной диагностики заболеваний. 1

Применениям рассматриваемых нами математических преобразований как в медицинской, так и в других отраслях биологии, посвящен и ряд других работ. Использованию корреляционных методов исследования, цифрового спектрального анализа, фурье-микроскопии посвящены соответственно статьи [15, 37, 103]. В работе [113] рассмотрены вопросы использования оптико-акустической спектроскопии при анализе лекарственных препаратов, при изучении структуры листьев растений и эффективности фотосинтеза, а также при исследованиях крови, исследованиях, проводимых в области дерматологии и офтальмологии при изучении бактерий, клеток, микроорганизмов. Работа [145] посвящена анализу спектра сигналов при доплеровском ультразвуковом исследовании сосудов периферической кровеносной системы. В работе [165] представлены результаты применения трех вариантов алгоритма Уолша-Адамара для селекции признаков на фотографиях хромосом.

Большое значение имеют указываемые ниже заключения ученых о психофизических процессах. Они пришли к выводу о том, что преобразования Фурье или Уолша выполняются естественным образом в зрительной системе человека. Приведем несколько высказываний, касающихся этого вопроса. В книге [81] он освещен следующим образом: "На первый взгляд разбиение изображения на его компоненты фурье может показаться операцией, которая, будучи математически оправданной, все же не слишком приспособлена для представления информации, содержащейся в изображении. Однако некоторые удивительные результаты, полученные при исследовании сенсорного восприятия, свидетельствуют о том, что это не так. Оказалось, что зрительная система млекопитающих, человека и животных осуществляет гармонический анализ образа, используемый для упорядочения воспринимаемого внешнего мира. В 1966 г. английский нейрофизиолог Кэмпбелл доказал, что зрительная система работает как многоканальный фурье-фильтр, в котором каждый канал настроен на выделение решетки с определенной пространственной частотой".

В книге [18] по этому поводу сказано так: "Если проходить микроэлектродом по столбу нейронов, то выявляются рецептивные поля, настроенные на разные пространственные частоты. Поля столба проецируются

на один участок зрительного поля. На этот же участок направлены рецептивные поля соседних столбов с другой ориентацией. В целом такая группа столбов представляет собой конструкцию, осуществляющую двумерное фурье-разложение изображения. Возбуждения выходных нейронов сложных полей соответствуют значениям фурье-коэффициентов. Согласно такому представлению происходит переход от поточечного описания изображения в сетчатке и наружном коленчатом теле к распределенному описанию квазиголографического типа в зрительной коре. О топографическом описании можно говорить потому, что распределение возбуждений в объеме коры соответствует не распределению освещенности на рецепторах сетчатки, а набору коэффициентов базисных функций". Далее вслед за фурье-описанием двумерного Изображения делается следующий вывод: "Мы рассмотрели работу одного участка зрительной коры, составленного несколькими столбами и обслуживающего кусок зрительного поля. Все зрительное поле покрыто такими участками, и кора, таким образом, осуществляет кусочное фурье-преобразование изображения (локальный спектральный анализ)".

В работе [142] рассмотрена модель зрительного восприятия человека, согласно которой преобразование изображения на пути от сетчатки к зрительной коре мозга человека представляется как двумерное преобразование Фурье или Уолша. функции Уолша использованы и при моделировании зрительной системы человека, описанном в работе [130]. В статье [182] предложена корреляционная матричная модель ассоциативной памяти в мозге, также отличающаяся тем, что каждая запоминаемая бинарная последовательность подвергается упорядоченному по Адамару преобразованию Уолша; приведены результаты такого моделирования, выполненного с помощью ЭВМ.

Если иметь в виду использование аналогий между психофизическими процессами у человека и тем, что должно выполняться системами машинного зрения, то особым является вопрос о качестве восприятия изображения. По этому вопросу в книге [32] высказаны следующие соображения: "... восприятие изображения человеком является сложным психофизическим процессом. Это делает затруднительным введение какой-либо строгой в математическом смысле меры качества изображения. Так, типичным примером несоответствия математического подхода и зрительного восприятия является мера средней квадратической ошибки. Оказывается, большая резкость изображения при большом уровне шумов предпочтительнее, чем сглаживание мелких деталей. Другим примером может служить реализация нелинейных и итерационных алгоритмов, в которых для получения приемлемых результатов часто требуется вмешательство оператора в процессе восстановления. Отмеченные обстоятельства выдвигают задачу создания управляемых алгоритмов реставрации с параметрами, задаваемыми оператором".

В плане психофизических исследований представляют интерес и другие работы. В работе [126] рассмотрено использование функций Уолша при спектральном анализе электроэнцефалограмм, а в работе [22] приведены примеры использования функций Уолша для спектрального анализа импульсной активности нейронов. Статья [40] посвящена разработке на основе применения дискретного преобразования фурье метода изучения

искусственно вызываемых изменений биоэлектрических процессов в мозге человека. Анализу изменений частоты разрядов нейронов мозга человека при выполнении психологических проб посвящены и статьи [41, 42]. В работе [156] предложено использовать нерекурсивный адаптивный цифровой фильтр для изучения с помощью ЭВМ прерывистых (саккадических) движений глаза, которые, как указывается, дают важную информацию о строении нейронной системы. Оценке фурье-критерия сходства изображений и методам регистрации движения глаз посвящены работы [1,3, 105].

В книге [116] рассмотрены вопросы физиологии речи и восприятие речи человеком.

Г. Сейсмология и сейсморазведка. Океанология. Спектральные методы исследования в почвоведении и растениеводстве. Метеорология. Охрана окружающей среды.

Одной из областей применения БПФ, выполняемого мощными вычислительными комплексами, а также и применения акусто-оптических и оптоэлектронных устройств обработки информации является геофизика. К ней примыкают сейсмология и сейсморазведка. Сейсмология занимается" изучением недр Земли с использованием естественных источников колебаний (землетрясений), а сейсморазведка — изучением малых глубин — примерно до с применением искусственных зондирующих сигналов [38].

На базе упоминавшихся в гл. VI ЭВМ ПС-2000 и ЭВМ ПС-3000 в СССР построены геофизические экспедиционные и региональные вычислительные комплексы [71, 111, 112]. Они предназначены "для быстрой обработки результатов сейсморазведки на нефть, газ и другие полезные ископаемые, а также данных по изучению земной коры и верхней мантии Земли с целью поиска глубоко залегающих месторождений полезных ископаемых и прогнозирования землетрясений. Названные комплексы позволяют повысить производительность по обработке сейсморазведочной информации в сто и более раз и получить большой экономический эффект благодаря повышению точности глубинного бурения, обнаружению нефти и газа на больших глубинах, оптимизации глубинного разведочного бурения" [90]. Для экспедиционных геофизических вычислительных комплексов разработана первая очередь пакета прикладных программ "потрассной" обработки сейсморазведочной информации, "состоящей из 7 процедур и 47 подпрограмм типа БПФ, свертки, расчета корреляционных функций и т.п." [112].

Разработаны акустические голографические устройства, предназначенные для сейсморазведочных исследований [38]. В материалы конференции по акустической голографии, опубликованные в виде книги [123], включен доклад, в котором описана топографическая система обнаружения дефектов в геологических структурах, и другой доклад, освещающий вопросы фильтрации сейсмических сигналов, получаемых при поиске нефти.

Работа [72] посвящена разработке оптоэлектронной информационной системы для оперативного спектрального анализа геологических объектов, осуществляемого при использовании средней области инфракрасного спектрального диапазона. В состав оптоэлектронной системы входят оптико-механический блок и средства микропроцессорной техники. По данным авторов работы одной из функций процессора является автоматически

осуществляемый выбор нужного оптического фильтра в соответствии с заданным алгоритмом. Система предназначена для решения геологических задач, к числу которых относятся задачи определения в процессе бурения скважин минерального состава пород, их битумосодержания и водонасыщенности.

Вопросы спектрального анализа в области геофизики рассмотрены в книгах [13, 89, 93]. В последней из них имеется глава "Цифровая обработка сигналов в геофизике", в которой приведены сведения об обработке здесь информации на основе формирования свертки сигналов и при использовании аппарата корреляционных функций. В книге [80] показано, как производится гомоморфная обработка сейсмических сигналов. Применение гомоморфной обработки информации в сейсмологии рассмотрено и в статье [191]. В работе [125] описано использование уолш-спектро-скопии при исследовании распространения волн, возникающих при подземных взрывах. Обработке с целью получения нужных для сейсморазведки данных, аэрофотоснимков и снимков, сделанных из космоса, посвящены статьи [121,143].

К области океанологии относятся следующие работы. Вопросы спектрального анализа случайных океанологических полей рассмотрены в книге [63]. Определению параметров волн по данным фурье-анализа радиоизображений морской поверхности посвящена статья [27]. Исследования в области океанологии отражены также в работах [23, 43, 45, 87]. В сборник [137] докладов международной конференции по цифровой обработке сигналов включен доклад, в котором дано описание метода вычисления двумерного преобразования Фурье и его приложения для измерения коэффициентов отражения от дна океана. В работе [133] приведены сведения об использовании преобразования Уолша при исследовании океанологических сейсмических явлений.

Аэрокосмические методы изучения почв и прогнозирования урожайности рассмотрены в книгах [6, 7]. В статье [3] указана методика анализа фотографических изображений, используемая при суждении о свойствах почв. Обработке сделанных из космоса снимков, по которым делаются выводы относительно свойств пахотного горизонта почв, контроля агро-ресурсов, индикации мелиорируемых ландшафтов, посвящены статьи [33, 48, 73]. В статье [64] описана методика дешифрирования лесов на структурозональных снимках, сделанных из космоса: составлено 96 кривых частотно-спектрального образа для всех выбранных эталонных объектов.

Проводятся топографические исследования с целью определения условий, при которых происходит произрастание семян и развивается корневая система сельскохозяйственных растений в разных средах и при различном питании. В работе [75] сказано о том, что выяснение этого вопроса необходимо для выработки подхода к созданию новых видов удобрений.

Освещены методы анализа, используемые в сельском хозяйстве и мелиорации, в уже упоминавшейся книге [81]. В качестве общей задачи здесь указан "объективный учет и оценка почв, грунтов и земельных ресурсов на основе комплексного анализа аэроснимков, мелиоративной оценки, прогнозирования и проектирования мелиораций и сельскохозяйственного использования земель". Отмечено, что в связи с широким развитием

мелиорации изучение аэрофотоизображений природно-территориальных комплексов должно быть направлено на повышение качества и производительности почвенно-мелиоративных изысканий: "Для решения этой задачи особую важность приобретает разработка экспресс-методов оценки мелиоративного состояния земель путем дешифрирования аэрофотоизображений (АФИ) территории в сочетании с наземными методами исследований. Опыт применения аэросъемки для почвенного картирования свидетельствует о высокой информативности АФИ в отношении важнейших мелиоративных показателей территории: литологии, почвенно-растительного покрова, глубины залегания и степени минерализации грунтовых вод, запасов и состава солей в почвенно-грунтовых водах зоны аэрации".

Необходимость введения машинного автоматического анализа изображений объясняется так: "Визуальные методы дешифрирования почвенного покрова основаны главным образом на различиях тона и геометрических особенностях изображения, которые оценивают на качественном уровне. Однако даже такие качественные показатели, как характер текстуры, геометрия контуров, особенности границ, как правило, при этом не учитывают или учитывают недостаточно иэ-за ограниченных возможностей человеческого глаза. Количественная оценка элементов изображения, а также количественный анализ тонкой структуры ("фактуры") изображения, создаваемой мелкими неоднородно стями почвенного и растительного покрова, практически недоступны визуальному анализу. Между тем именно в тонкой структуре почвенно-растительного покрова, в фазности, размерах и соотношениях отдельных элементарных контуров, по-видимому, заключается весьма существенная информация о характере почвенно-мелиоративных показателей. Перспективным методом извлечения дополнительной информации из АФИ является применение машинного автоматического анализа. Машинный анализ изображений, получивший в последние годы значительное развитие, применили и к АФИ ). При этом основное внимание уделили автоматическому распознаванию типов территории (ландшафтное дешифрирование) по различным статистическим характеристикам ее изображения". В статье [39] рассмотрены аппаратные средства и рассмотрены особенности программного обеспечения обработки изображений для интерпретации снимков земной поверхности, получаемых с искусственых спутников Земли.

Преобразования Фурье выполняются и при решении задач метеорологии и охраны окружающей среды. В статье [111] отмечено, что рассматриваемый универсальный вычислительный комплекс предназначен для высокопроизводительной обработки данных как в геофизике, аэросъемке, при океанологических и других исследованиях, так и для применений в области метеорологии. В работе [140] описано использование алгоритмов БПФ в численных моделях предсказания погоды и рассмотрены методы их реализации на ЭВМ. О применении БПФ при обработке метеорологических данных говорится и в книге [114]. Здесь по поводу математических преобразований, связанных с БПФ, сказано следующее: "... быстрые методы для решения уравнения Пуассона для простых геометрий

базируются на частном фурье-преобразовании данных с помощью БПФ ... При таких обстоятельствах основное требование заключается в параллельном выполнении многочисленных фурье-преобразований, например, при преобразовании данных каждой из 64 линий в сетке 64 X 64 параллельно. В метеорологическом приложении применяется полунеявная временно-квантованная процедура, где необходимо осуществлять тысячи реальных преобразований Фурье за квант времени".

В книге [81] в числе решаемых задач указаны задачи охраны окружающей среды, к которым относятся контроль за чистотой промышленных стоков и воздушных выбросов. Работа [149] дает представление о дистанционном измерении газообразных загрязнений воздуха с помощью мобильной системы, содержащей интерферометр, при работе которой выполняется преобразование Фурье.

Вопросы наблюдения природы Земли из космоса освещены в книге [94]. При оптической обработке получаемой информации используются сведения, содержащиеся в книгах [83, 84,92].

Д. Различные отрасли техники. Обеспечение надежной работы ЭВМ.

Методы исследования, основанные на применении преобразований Фурье и Уолша, применяются в различных отраслях техники. Широко используется и оптическая аппаратура, при работе которой выполняютсяданные преобразования. Проиллюстрируем это примерами.

В статьях [146, 148] показано, как БПФ применяется при исследовании колебаний. Работа [155] дает представление об использовании БПФ при исследовании периодических процессов по многим параметрам.

В статье [101] приведены сведения о применении БПФ для идентификации частотных характеристик, получаемых при испытаниях опытных образцов штурвального управления самолета. Работа [106] касается вопросов применения преобразования Фурье для оценки качества фильтров, изготовленных из хлопчатобумажной ткани. В статье [30] рассмотрена обработка изображений с целью определения статистических параметров микроструктур огнеупорной керамики и легированной стали. Об использовании БПФ при обработке хроматограмм и спектрограмм упомянуто в книгах [56, 102]. Статья [166] знакомит с применением рядов Уолша для аппрюксимации характеристик термоэлемента.

Преобразование Фурье используется при изучении шероховатости поверхностей [189, 190], в работе [175] рассмотрено применение алгоритма БПФ при фильтрационной обработке профилей поверхностей, в статье [147] показано, как может использоваться преобразование Фурье для разделения волнистости и шероховатости прюфиля поверхности.

В статье [99] сказано о применении разложения в обобщенный ряд Фурье при измерении параметров двухполюсных цепей. Статья [25] дает представление об использовании кратных рядов Фурье для анализа широт-номодулированного напряжения на выходе преобразователя при различных законах модуляции. В работе [136] показано, как используется метод анализа, основанный на выполнении преобразования Уолша и других ортогональных преобразований, при испытаниях трехфазной электрической сети в условиях, когда происходят нарушения нормальных режимов ее функционирования.

Оптико-структурный машинный анализ изображений в сочетании с разложением исходных функций в ряд Фурье и выполнением преобразования Фурье для получаемых автокорреляционных функций используется при металлографических и петрографических исследованиях [81]. В книге [81] в качестве примеров применения оптико-структурного машинного анализа изображений указаны для области металловедения исследование кавитационного разрушения сталей и исследование растровых изображений изломов стали. При кристаллографических исследованиях изучаются фурье-образы кристаллических структур. Отмечено, что автоматическая микроскопия имеет значение для решения таких задач промышленной биотехники, как контроль состояния основной производственной культуры в промышленных ферментерах и в отделении чистой культуры, контроль чистоты потоков, поступающих на ферментацию, наблюдение за чистотой оборудования и производственных помещений.

Книга [14] посвящена вопросам использования голографии в микроволновой технике. Представление об ультразвуковых и топографических методах неразрушающего контроля дают книги [38, 44, 82]. В книге [44] за описаниями фурье-спектрометра и регистрирующего ультразвукового спектроанализатора следует раздел "Звуковидение в неразрушающем контроле", в котором сказано, что метод ультразвуковой спектроскопии "применяется преимущественно для изучения структуры металлов и поликристаллических материалов. Метод основан на двойном лучепреломлений ультразвука при его распространении в металлах и в поликристаллических материалах с макрюсимметрией кристаллического типа". Показано, как используется преобразование Фурье при формирювании звукового изображения с помощью акустической линзы. В книге [38] указано на эффективность применения в ряде случаев акустической голографии при решении задач технической диагностики, например при выяснении того, имеются ли полости в слитках. Высказано мнение о том, что целесообразно применение устройств акустической голографии в сочетании с обработкой получаемых данных на ЭВМ при использовании БПФ.

В работе [186] описаны топографические методы контроля механических деталей. В книге [84] имеется раздел, посвященный проводимому для прогнозирования отказов анализу вибраций двигателя самолета, и раздел, в котором описаны топографические методы исследования работы станков. В книге [82] рассмотрены вопросы неразрушающего контроля процесса роста кристаллов. Топографическая интерференция применяется и для неразрушающего контроля других объектов. Согласно [119] "... интерференция света широко используется для тщательного контроля геометрической формы различных тел, качества обработки их поверхностей, малых изменений формы или поверхности под действием тех или иных внешних воздействий: механических напряжений, нагрева и др.". Говорится и о том, что голография "может быть применена в интерференционном исследовании, например, деформаций тела произвольной формы и с произвольным качеством обработки поверхностей". Примером такого использования голографии являются приведенные в указанном источнике изображения деформированного шарикового подшипника с помощью двойной голограммы, записанной сначала до, а затем после деформации,

а также изображение дефектной автомобильной шины. Рассмотрено и выявление раковин и слабых мест сварки в стенках полых сосудов.

В книге [82] приведены сведения о применении оптических голографических методов при измерении сплошности двухфазовых потоков, измерении распределения скоростей в водосливной струе, исследовании дисперсной и сплошной фазы продуктов горения конденсированных систем, исследовании характеристик газодинамических потоков в системах впуска — выпуска дизелей. В статье [75] сказано об использовании голографической аппаратуры при измерении размеров капель и определении формы струи жидкости, вытекающей из сопла. Исследование распиливания топлива форсунками автомобильных дизелей рассмотрено и в книге по оптической голографии [82]. Приведенные примеры свидетельствуют о том, что в различных отраслях техники широко используются преобразования Фурье, а также о широком применении аппаратуры, действие которой основано на выполнении этих преобразований.

Перейдем далее к вопросу, который был особо выделен в заглавии этого раздела. Большое значение для развития всей современной техники имеет разработка методов, обеспечивающих надежную работу ЭВМ. К числу их относятся методы отказоустойчивого кодирования данных и методы усовершенствования контроля микропроцессорных БИС и СБИС, а также и других элементов и устройств микроэлектроники.

Необходимость в создании рациональных приемов помехоустойчивого кодирования обусловлена следующим. В микропроцессорах и строящихся на их основе ЭВМ на кристалле, размеры которюго меньше размеров копеечной монеты, размещаются десятки и сотни тысяч функциональных элементов, что позволяет получить высокое быстродействие и миниатюризовать устройства микрюэлектронной техники. Однако при размерах элементов, которые сейчас определяются величинами порядка нескольких микрон (намечается уже создание субмикронной технологии) нельзя обеспечить надежную работу каждого элемента, а часто и целых узлов устройства. Зато благодаря большому количеству элементов появилась возможность использования избыточного их количества для такого кодирования информации, при котором автоматически обнаруживаются ошибки, а при случайных сбоях осуществляется и автоьвтическое их исправление. При высокой степени параллелизма вместо отказавших узлов устройства или устройства в целом могут также автоматически включаться в работу соответствующие резервные узлы или устрюйства. Отказоустойчивым кодированием предусматривается наличие в каждом информационном слове дополнительных контрольных разрядов. В таком виде информация обрабатывается и хранится в блоках памяти, когда же необходимость в использовании контрольных разрядов отпадает, производится декодирование и получаются данные, уже не закодированные указанным образом.

В гл. IV были сделаны ссылки на работы, в которых говорилось об использовании преобразований Уолша и Хаара для диагностирования нарушений функционирования интегральных схем. В списке литературы к гл. VII из числа этих источников указаны [62,153,154].

Одними из наиболее эффективных кодов, примененяемых для помехоустойчивого кодирования, являются коды Рида — Соломона. Для

кодирования и декодирования при применении этих кодов используется видоизмененный алгоритм Винограда преобразования Фурье и другие алгоритмы быстрых преобразований [19, 20, 36, 132, 139, 144, 168, 176, 177, 181].

Ошибки возникают не только из-за неисправностей аппаратурной части ЭВМ, но и при программировании выполнения операций. Для обнаружения этих ошибок тоже могут использоваться избыточные элементы и узлы ЭВМ. В книге [98] оговорено, что "... спектральная теория и алгоритмы спектрального метода обладают общностью и позволяют изучать системы управления по единым схемам в разных системах координат и взаимно контролировать результаты, получаемые при использовании разных базисных систем". Например, могут сравниваться данные, получаемые при использовании в качестве базисных тригонометрических функций, функций Уолша и Хаара.

В работе [135] предложено построение на основе использования рядов Фурье эмпирической модели отказов программного обеспечения. В статьях [100, 110] описаны основанные на применении функций Уолша алгоритмы обнаружения неисправностей БИС оперативных запоминающих устройств. БПФ и преобразование Уолша используются при проведении быстрых испытаний и настройке аналого-цифровых и цифро-аналоговых преобразователей [138, 173]. В работе [163] отмечено, что метод БПФ позволяет подавлять шумы при оперировании с исходными непрерывными данными; это достигается при быстрых переходах от временного представления данных к частотному их представлению и соответствующих обратных переходах. Преобразование Фурье использовано и для контроля ошибок в цифровых линиях связи [76].

Применение преобразований Фурье и Уолша позволяет усовершенствовать методы контроля элементов и устройств микроэлектронной техники при их изготовлении. Это тоже имеет большое значение для обеспечения последующей надежной их работы. Обработка изображений на основе выполнения преобразования Фурье применяется для контроля дефектов плат БИС [157]. При контроле пластин интегральных схем используются и иные методы обработки изображений, а также и обработки речевых сигналов, которые были рассмотрены нами в гл. V [34,159]. Фурье-голограммы применены для определения степени дефектности швов корпусов интегральных схем [49]. В книге [82] приведены сведения об использовании лазерной интерферометрии при контроле рельефа поверхности магнитных дисков. В связи с начавшимся применением в ЭВМ оптических волокон представляют интерес методы определения диаметра волокна, при выполнении этой операции применено БПФ [66]. Преобразования Уолша и Фурье используются также при аналитическом исследовании интегральных микросхем различных типов [85,95].

Е. Иные применения.

Описанные до сих пор применения преобразований Фурье, Уолша, Хаара и устройств, при работе которых они выполняются, относились к мирной, созидательной деятельности людей. С выполнением рассматриваемых преобразований связано и создание средств военной техники. Раньше уже упоминалось о том, что в созданном в США комплексе сверхбыстродействующих микроэлектронных устройств военного назначения одним из основных функциональных блоков является блок БПФ [58]. В военной технике широко применяются системы

радиолокации и гидролокации, действие которых основано на выполнении рассматриваемых нами преобразований. Об устройствах радиолокации мы до сих пор упоминали, имея в виду иные их применения, главным образом в астрономии. Дополнительные сведения о радиолокации и гидролокации приведены в литературе, на которую мы уже ссылались (см., например, главы "Применения цифровой обработки сигналов в радиолокации" и "Обработка сигналов в гидролокации" в книге [93], главу "Применение цифровой обработки в радиолокации" в книге [97], книгу [118]). В работе [192] описан алгоритм распознавания на основе использования преобразования Фурье формы самолета в трехмерном пространстве.

Военной области применений больше касаться не будем. В этом разделе приведем сведения о других областях применения. На основе использования БПФ оказывается возможным быстро производить измерения в ходе испытаний, выполняемых в различных областях науки и техники. Сошлемся на работу [55], в которой рассмотрено использование БПФ при измерении аналоговых сигналов. Опубликованы сведения о применении БПФ в тех случаях, когда быстрые цифровые измерения частотной характеристики производятся при помощи многочастотных сигналов. О том, насколько обширной является номенклатура параметров измерения при проведении испытаний, можно судить по данным, приведенным в книге [55]. В ней в разделе "Библиотека вычислительных и оценочных программных модулей для алгоритма БПФ и некоторых его приложений" приводится пример внедрения этой номенклатуры для обработки данных летных исследований и испытаний, причем оговаривается следующее: "Быстрый рост скоростей и все увеличивающаяся высота полетов, оснащение самолетов и вертолетов сложным оборудованием существенно усложняют задачи подобных исследований и испытаний и требуют глубокого анализа функционирования летательного аппарата и его систем, что в свою очередь вызывает необходимость измерения в полете большого числа параметров (нескольких тысяч), характеризующих их состояние и необходимость сложной математической обработки информации, зарегистрированной в полете".

Дня многих отраслей науки и техники актуальна проблема распознавания сигналов, о котором говорилось в предшествующих главах нашей книги лишь в связи с упоминанием о некоторых вопросах управления и связи. Различные подходы к реализации спектральных методов распознавания рассмотрены в книгах [79, 117]. Алгоритм распознавания сим волов, предусматривающий выполнение преобразования Фурье, описан в работе [183]. Машинное распознавание признаков используется сейчас и в такой области, как криминология. Преобразование Фурье применяется при исследовании систем массового обслуживания [122,169].

Оптические, оптоакустические, в том числе и топографические, устройства обработки информации используются при решении задач, возникающих в области искусства. К числу решенных задач относится восстановление звукозаписей с применением гомоморфной обработки сигналов. Для уменьшения шума обрабатывалось большое число реализаций, в которых полезный сигнал стационарный, а шум является случайным сигналом. При обработке использовалось преобразование Фурье. Согласно данным, приведенным в книге [80], этот метод дал поразительное улучшение

качества записей Карузо. Как указано, аналогичного улучшения следует ожидать при обработке музыки, записанной в реверберирующей среде. Цифровой синтез музыки в реальном масштабе времени описан в работе [2]; рассмотрено разложение в ряд Фурье, описано применение цифровых фильтров. По заключению автора этой работы "квазипериодический характер почти всех музыкальных звуков позволяет представить звуковое колебание способом, близким к разложению в ряд Фурье". Формантному синтезу во временной области посвящена статья [196], напечатанная в журнале, тематикой которого является использование ЭВМ в области музыки. В опубликованной в том же журнале статье [178] приведены сведения об электронном музыкальном инструменте, в котором генерирование звуков производится на основе использования функций Уолша. Отмечено, что функции Уолша могут быть успешно применены при реализации многих процессов, с которыми приходится встречаться в области электронной музыки, включая частотное моделирование сигналов и реверберацию. В приложении к работе [21] указано более 130 источников, в большей части которых затронуты вопросы, актуальные для этой области приложений.

Большое внимание уделяется топографическому изобразительному искусству, созданию топографического кино, топографического телевидения. Эти вопросы рассмотрены в книгах [82, 86]. В работе [10] сделан вывод о том, что при достигнутом уровне топографической изобразительной техники можно уже ставить и решать задачи, связанные с выявлением характерных черт художественных образов. Вопрюсы изобразительной голографии обсуждены также в статьях [31, 46, 47, 61, 167]. В книге [82], посвященной практическим применениям голографии, имеется раздел, в котором описана методика определения оптимального температурно-влажностного режима хранения монументальной живописи.

Упоминавшиеся в гл. III и IV нашей книги быстрые преобразования и методы фильтрации сигналов используются и в других областях науки и техники. Можно, например, указать экономические исследования. Так, в книге [29] при рассмотрении медианной фильтрации говорится о ее применениях для сглаживания временных рядов, встречающихся в экономических исследованиях.