§ 8. Применения преобразований Фурье, Уолша и Хаара при цифровой обработке изображений и в цифровой голографии

А. Исходные данные.

Цифровой обработкой улучшаются ранее полученные изображения, появляется возможность и независимого синтеза изображений. Сначала рассмотрим цифровые методы улучшения полученного изображения. Применение цифровых методов обработки изображений стало возможным здесь лишь с тех пор, как были созданы алгоритмы БПФ, БПУ, БПХ. Это обусловлено тем, что чаще всего для представления изображения требуется от ста тысяч до миллиона чисел и выполнение над ними преобразований практически возможно только при применении быстрых алгоритмов вычислений. Используется также аппарат теории корреляционных функций и сверток, тесно связанной с теорией ортогональных преобразований. Используются и цифровые фильтры, методы построения которых базируются, как было показано в предшествующих главах, на z-преобразовании и указанных выше быстрых преобразованиях.

При математическом описании изображений принимается во внимание то, что изображение объекта формируется так, как показано на рис. 5.6,а. Условно принято, что объект плоский. На рис. плоскость объекта, 2 — система формирования изображения, 3 — плоскость изображения. Получается сглаженное изображение, так как каждая точка

Рис. 5.6

с координатами х, у в плоскости изображения, отвечающая точке с координатами в плоскости объекта, образуется под влиянием энергии, излучаемой также и другими точками плоскости объекта. В этом разделе при дальнейшем рассмотрении этого вопроса будем пользоваться принятыми в работе [133] обозначениями операций. Процесс формирования изображения представляется в виде

Функция дает представление о зависимости между распределением энергии, излучаемой в окрестности некоторой точки объекта, и распределением энергии вблизи изображения этой точки. Если функция инвариантна в плоскости объекта, то представление функции упрощается и уравнение (5.40) преобразуется к виду

Это уравнение двумерной линейной, инвариантной к сдвигу системы. Функцию являющуюся импульсным откликом системы, называют аппаратной функцией (другое ее название - функция рассеяния точечного источника). Для цифровой обработки изображение дискретизируется и квантуется. Ошибки квантования учитываются введением в схему обработки источника шума. Этот вопрос, являющийся общим для большинства цифровых систем обработки информации, будет обсужден особо в § 2 гл. VI. При дискретизации изображений выполняются условия,

определяемые рассмотренной в гл. III теоремой Котельникова, которые обобщаются здесь для случая двумерного представления информации.

Дискретизация и квантование производятся следующим образом. На пленку с изображением, которое подлежит цифровой обработке, направляется луч света, имеющий интенсивность Свет, прошедший через пленку или отраженный от нее, имеет интенсивность Эта часть процесса характеризуется величиной называемой оптической плотностью. Отсчеты изображения получают путем смещения скачком светового пятна на пленке. Процесс в целом описывается уравнением

в котором: соответственно — изображение на пленке и эквивалентное ему изображение, по которому производятся отсчеты; распределение яркости в сечении луча при освещении пленки. При выполняемой таким образом предварительной обработке изображения полученное дискретизированное изображение оказывается искаженным. Выбором распределения и величины интервалов между отсчетами производится фильтрация, позволяющая улучшить цифровое изображение.

При восстановлении изображения производятся действия, обратные по отношению к тем, которые выполняются при дискретизации. Для этого процесса тоже характерно возникновение ряда погрешностей. Процесс восстановления описывается следующим уравнением:

Здесь: распределение яркости записанного светового пятна; функция, определяемая в соответствии с (5.42), восстановленное непрерывное изображение. Искажения могут возникать и при передаче оптических сигналов в среде, отделяющей объект от формирующей изображение системы.

Для получения качественного цифрового изображения и восстановления по нему аналогового изображения производится фильтрация сигналов, позволяющая ослабить влияние внесенных искажений.