Б. Типовые воздействия.

В показанной на рис. 1.1,а системе изменение с течением времени выходной величины зависит от свойств системы и от того, как изменяется по времени входная величина Закон изменения может быть в общем случае любым. При произвольном входном воздействии нельзя по изменению величины судить о свойствах системы. Однако имеются такие входные воздействия, называемые типовыми, при которых, зная реакцию на них системы, т.е. зная можно сделать заключение о характеристиках системы и можно указать, каким будет изменение при любых других входных воздействиях. Сказанное относится и к тому случаю, когда имеется в виду не вся система, а какой-либо ее элемент, и соответственно входная и выходная величины для элемента.

При исследовании аналоговых систем управления и связи и их элементов используется какое-либо из следующих трех типовых воздействий. Одним из них является гармоническое колебание, показанное на рис. 1.7,д. Другим типовым воздействием служит изображенный на рис. 1.7,б единичный скачок, называемый также единичной функцией. Для единичного скачка используется обозначение Полезным для исследований оказывается также искусственно вводимое в рассмотрение типовое воздействие в виде единичного импульса называемое по-другому -функ-цией или функцией Дирака. -функция получается следующим образом. Обратимся к изображенному на рис. 1.7,в прямоугольному импульсу, имеющему основание а и высоту Площадь прямоугольника равна а Устремляя а к нулю, получим бесконечно короткий импульс с единичной площадью. Это и будет тем, что называют единичным импульсом или -функцией. Высота импульса бесконечно большая (определение -функции не отвечает классическим определениям математических

функций, но удовлетворяет требованиям, предъявляемым к так называемым обобщенным функциям).

Математическим выражением единичного импульса является

причем

Единичный скачок и единичный импульс связаны между собой. Рассматривая вместо этого импульса гладкий импульс, совпадающий с ним в немалой окрестности нуля, и переходя к пределу, когда эта окрестность стягивается к точке можно показать, что

и соответственно

Вьюод формул (1.11) и (1.12) здесь не дается, он приведен в книгах [131] и [57] (см. в первой из них. с. 62, 63, во второй — с. 134— 136).

Иногда удобнее рассматривать в качестве входного воздействия единичный скачок, в других случаях — единичный импульс. Реакцию системы на единичный импульс называют ее импульсной функцией, а реакцию на единичный скачок - ее временной характеристикой. Эти же определения относятся и к характеристикам отдельных элементов системы.

Рис. 1.7

Импульсная и временная характеристики связаны между собой так же, как соответственно первая может быть определена как производная по времени от второй из них.

Так как -функция используется не только как входное воздействие, но окажется полезной и при рассматриваемых нами в дальнейшем преобразованиях, приведем некоторые дополнительные сведения о ней.

Если принять в качестве исходной точки на оси не а некоторое значение времени то формулы (1.9) и (1.10) примут следующий

Рассмотрим интеграл

Так как согласно при всех то, хотя в (1.15) и указаны пределы интегрирования от до они могут быть заменены узкими пределами где сколь угодно мало. Так как на интервале функция меняется мало, то она может рассматриваться как постоянная Вынося множитель за знак интеграла и пользуясь (1.14), получим из (1.15)

Из того, что при всех следует и