Д. Использование алгоритма БПФ для ускоренного вычисления ОДПФ.
Пояснения к выводу формул БПФ. В п. 4 второй части этого раздела будет показано, что выражение ОДПФ
просто преобразуется к виду
где величина, комплексно сопряженная с а знак у скобки указывает, что берется величина, комплексно сопряженная с той, которая заключена в скобки.
Выражение в скобках представляет собой прямое ДПФ для. последовательности следовательно, может быть вычислено как БПФ, причем получается до в величин, являющихся функциями Если взять для каждой из них величину, комплексно с ней сопряженную, и разделить ее на получим соответствующее из значений последовательность которых при ОДПФ является искомой.
В следующей части этого раздела сделаем пояснения к проведенному в разделе выводу формул БПФ и к указанному выше преобразованию формулы ОДПФ. Были использованы вспомогательные соотношения. Ниже показывается, как они получены.
1. Сначала покажем, что является периодической последовательностью с периодом IV:
Рассмотрим в выражение
Так как
Аналогичным образом приходим к тому, что
Соответственно с указанным выше и определяемая согласно (3.70) последовательность яляется периодической последовательностью с периодом
2. Поясним далее, как получается использованное в разделе уравнение Преобразуем так выражение
Отсюда следует указанное уравнение.
3. Вывод о том, что следует из того, что уже было указано выше. Действительно, при
4. Покажем далее, как выражение ОДПФ
при преобразуется к виду (3.80). Сначала рассмотрим некоторое уравнение где комплексные переменные. Показатель степени можно рассматривать как комплексную величину с вещественной частью, равной нулю. Имея это в виду, заменяя в левой части написанного уравнения комплексную величину и комплексно сопряженной с ней величиной и заменяя таким же образом в правой части данного уравнения на и, получим, что Аналогичными являются и указываемые далее выводы. В общем случае в выражении величины комплексные и согласно При этом в соответствии с ранее сказанным где и величины, комплексно сопряженные соответственно с При этом
т.е. получается выражение (3.80).
В разделе § 4 упоминалось о применениях скользящего и скачущего ДПФ при имерениях спектра. Практически для спектрального анализа используется БПФ. Поэтому, имея в виду указанные применения, говорят о скользящем БПФ и о скачущем БПФ. Как уже упоминалось, эти преобразования описаны в книге [101]. В дальнейшем ограничимся обсуждением вопросов обычного выполнения БПФ, рассмотренных в предшествующих разделах § 5.