Д. Использование алгоритма БПФ для ускоренного вычисления ОДПФ.

Пояснения к выводу формул БПФ. В п. 4 второй части этого раздела будет показано, что выражение ОДПФ

просто преобразуется к виду

где величина, комплексно сопряженная с а знак у скобки указывает, что берется величина, комплексно сопряженная с той, которая заключена в скобки.

Выражение в скобках представляет собой прямое ДПФ для. последовательности следовательно, может быть вычислено как БПФ, причем получается до в величин, являющихся функциями Если взять для каждой из них величину, комплексно с ней сопряженную, и разделить ее на получим соответствующее из значений последовательность которых при ОДПФ является искомой.

В следующей части этого раздела сделаем пояснения к проведенному в разделе выводу формул БПФ и к указанному выше преобразованию формулы ОДПФ. Были использованы вспомогательные соотношения. Ниже показывается, как они получены.

1. Сначала покажем, что является периодической последовательностью с периодом IV:

Рассмотрим в выражение

Так как

Аналогичным образом приходим к тому, что

Соответственно с указанным выше и определяемая согласно (3.70) последовательность яляется периодической последовательностью с периодом

2. Поясним далее, как получается использованное в разделе уравнение Преобразуем так выражение

Отсюда следует указанное уравнение.

3. Вывод о том, что следует из того, что уже было указано выше. Действительно, при

4. Покажем далее, как выражение ОДПФ

при преобразуется к виду (3.80). Сначала рассмотрим некоторое уравнение где комплексные переменные. Показатель степени можно рассматривать как комплексную величину с вещественной частью, равной нулю. Имея это в виду, заменяя в левой части написанного уравнения комплексную величину и комплексно сопряженной с ней величиной и заменяя таким же образом в правой части данного уравнения на и, получим, что Аналогичными являются и указываемые далее выводы. В общем случае в выражении величины комплексные и согласно При этом в соответствии с ранее сказанным где и величины, комплексно сопряженные соответственно с При этом

т.е. получается выражение (3.80).

В разделе § 4 упоминалось о применениях скользящего и скачущего ДПФ при имерениях спектра. Практически для спектрального анализа используется БПФ. Поэтому, имея в виду указанные применения, говорят о скользящем БПФ и о скачущем БПФ. Как уже упоминалось, эти преобразования описаны в книге [101]. В дальнейшем ограничимся обсуждением вопросов обычного выполнения БПФ, рассмотренных в предшествующих разделах § 5.