§ 7. Двумерные и трехмерные преобразования Фурье, Уолша, Хаара
А. Дву- и трехмерные преобразования Фурье непрерывных сигналов.
Рассмотрим разложение в ряд Фурье периодической непрерывной функции 
двух переменных величин х и у, первая из которых изменяется с периодом 
а вторая — с периодом 
Формула разложения в ряд Фурье функции 
имеет следующий вид:
Коэффициент разложения
Покажем, как получены формулы (5.16) и (5.17). Сначала считаем, что 
является функцией одной лишь переменной х. Запишем в соответствии со сделанными в гл. II выводами разложение ее в ряд Фурье:
где
Разложим затем в ряд Фурье функцию 
:
причем
Подстановка выражения (5.19) в формулу (5.18) дает
Это и есть, только лишь в другой записи, формула (5.16). Так же получаем с учетом выражений (5.21) и (5.19) формулу (5.17).
Для периодической непрерывной функции 
трех переменных величин 
при периодах этих величин, равных соответственно 
разложение функции в ряд Фурье представляется в следующем виде:
где
Интегральное преобразование Фурье функции 
двух переменных величин
На структуре этой формулы не будем здесь останавливаться, двумерное преобразование Фурье встретилось уже нам в п. Б § 6 в связи с описанием его выполнения оптическими средами. Отметим лишь следующее. Что представляют собой в общем случае в формуле (5.25) величины 
пояснено в книге [107]. В последней также приведены формулы двумерного ряда Фурье и двумерного преобразования Фурье в тригонометрической форме и проанализированы условия, при которых можно пользоваться рассматриваемыми преобразованиями. На практике эти условия выполняются во всех случаях, которые далее будем иметь в виду.
