Д. Теорема отсчетов, использование при ее доказательстве преобразования Фурье.

Как уже было оговорено, актуален вопрос выбора оптимальных интервалов дискретизации. Для функций, имеющих спектр, ограниченный угловой частотой и соответственно круговой частотой ответ на этот вопрос дает теорема отсчетов, доказанная В.А. Котельниковым и носящая его имя. Доказательство ее было дано в работе [59]. Согласно теореме Котельникова любую функцию спектр которой содержит частоты от до можно с любой степенью точности представить отсчетами, следующими один за другим через интервалы времени При таком выборе интервалов дискретизации функция однозначно представляется рядом особого вида, называемым рядом Котельникова. При больших интервалах дискретизации уже невозможно однозначное представление функции. Более же частые отсчеты приводят к увеличению объема обрабатываемой информации. В книгах, посвященных использованию спектров при анализе сигналов (см., например, [131]), отмечается, что сам факт наличия ограниченного спектра свидетельствует об особенностях функции, в силу которых любые две соседние точки ее отсчетов могут быть соединены между собой определенным образом. В качестве пояснения указывается, что однозначность воспроизведения функции по ее отсчетам была бы, например, получена, если бы функция была представлена ломаной, отрезки которой соединяют точки соседних

отсчетов. Согласно теореме Котельникова однозначность воспроизведения функции по ее отсчетам обеспечивается и для любых других непрерывных функций.

Покажем как доказывается эта теорема. Функция для которой при представляется, согласно (2.8), выражением 1

Рассматривая отвечающую спектральную плотность являющуюся заданной на конечном промежутке функцией частоты как периодическую, имеющую период функцию, можно разложить ее в ряд Фурье.

В соответствии с формулами (2.19), (2.20), (2.2)

Подстановка выражения (3.12) в формулу (3.11) дает

Выполняя операцию интегрирования, приходим к тому, что

Вводим для сокращения записей обозначение

Преобразуем выражение используя формулы Эйлера

Так как соответственно четная и нечетная относительно , функции, Имея в виду обозначение

(3-16), получаем

Подстановка последнего выражения в уравнение (3.15) приводит к

Уравнение (3.11) справедливо при различных значениях При оно принимает следующий вид:

Так как в уравнении (3.18) выражение интеграла такое же, как и в уравнении (3,13), поделив соответственно левые и правые части этих уравнений одну на другую, приходим к тому, что

Вводим следующее обозначение для имеющей размерность времени величины

При этом

Подставляем значение в уравнение (3.17) и заменяем в нем тоже на

Учитывая, что и меняем знак при к на обратный. Последнее является возможным, так как выполняется суммирование по от до . Получаем следующее выражение разложения функции в ряд Котельникова:

Так как, согласно (3.20), из уравнения (3.23) следует, что функция спектр которой ограничен круговой частотой со, и соответственно отсчитываемой в Гц частотой однозначно определяется ее отсчетами, которые берутся через интервалы времени

Уменьшение интервалов дискретизации по сравнению с указанными теоретически ничего не дает, так как функция согласно сделанным выводам полностью представлена ее отсчетами. Однако на практике интервал между отсчетными точками (иногда его называют интервалом Найквиста) с запасом берется меньшим, чем Так, в книге [102], посвященной вопросам теории сигналов, передающихся в радиотехнических системах, рекомендуется брать интервал дискретизации в 2—5 раз меньшим, чем и указывается, что увеличение его по сравнению с рекомендуемым его значением приводит к ошибкам при восстановлении непрерывного сигнала по отсчетам.