Д. Спектр мощности случайного сигнала, применение БПФ при его оценке.

При эксплуатации и при исследовании ряда систем управления и связи возникает необходимость в использовании статистических методов для оценки ковариационной функции и для оценки спектра мощности случайного процесса.

Спектр мощности случайного процесса

где автоковариационная последовательность, равная

Существуют различные подходы к получению оценки спектра мощности случайного сигнала. Сначала рассмотрим один из них, получивший развитие в книге [85], в которой этому вопросу посвящена отдельная глава. Авторы указанной книги исходят из того, что чаще всего не имеется достаточных знаний о сигнале, которые позволили бы применить оптимальные методы оценки (теории оценок и применениям ее для оценки спектра посвящены книга [41] и другая литература, упомянутая в списках литературы к [41] и [85]). Поэтому применяются методы, основанные на использовании имеющихся опытных данных.

Для оценки средних значений эргодического случайного процесса по конечному отрезку единичной выборочной последовательности являющейся реализацией процесса, определяемого множеством случайных величин решается задача выбора величины при которой оценка оказывается достаточно удовлетворительной.

Выводы теории оценок используются в данном случае следующим образом. Пусть задан некоторый параметр а, оценка которого находится. В дальнейшем будут рассмотрены оценки автоковариационной функции и спектра мощности, вообще же указываемый подход может быть испольг зован для оценки различных параметров а.

Оценка а параметра а производится по N значениям единственной выборочной последовательности на основе того, что . Здесь — значения случайных величин Примем обозначение для плотности вероятности случайной величины а. В зависимости от алгоритма оценки и от того, какими являются плотности

вероятности случайных величин будут меняться характеристики плотности распределения вероятности оценок. В качестве примера на левом из рис. 3.16, б представлены три различные характеристики изменения в функции от а величины и Лучшей из них является характеристика 1, так как здесь плотность вероятности «а в большей степени сконцентрирована около значения а.

Задаются так, как показано на правом из рис. 3.16, б, доверительные пределы для оценки Заштрихованной площадью определяется вероятность того, что оценка будет находиться в указанных пределах. Если принять для этой площади обозначение 1—13, то Использование этого соотношения иллюстрируется следующим примером [85]. Если для рассматриваемой оценки найдено, что при площадь равна 0,95, то в этом случае можно сказать, что с 95%-ной уверенностью оценка будет в пределах ±0,1 около истинного значения.

Критериями для сравнения оценок обычно служат следующие величины: смещение где среднее значение оценки; дисперсия оценки Иногда для сравнения оценок используется среднеквадратическая ошибка оценки Если оценка называется несмещенной. Если с увеличением величины стремятся к нулю, то оценку называют состоятельной.

Чтобы можно было вычислить доверительные пределы для оценок и проанализировать затем зависимость от N смещения и дисперсии оценки, нужно располагать сведениями о распределении вероятности случайных величин При обработке случайных сигналов в системах управления и связи обычно таких сведений не имеется. Опыт показывает, что в этих условиях оправдывает себя принятие распределения следующим гауссову закону. Для случайного процесса с гауссовой плотностью вероятности последняя определяется как

Принимается, что значения статистически независимые.

Чаще всего применяются так называемые оценки максимального правдоподобия. При гауссовом случайном процессе такими оценками являются: для среднего значения процесса выборочное среднее для дисперсии выборочного среднего Если величина известна, то оценкой максимального правдоподобия для дисперсии является в противном случае такой оценкой служит выборочная дисперсия

Для оценок смещение равно нулю, и они являются состоятельными оценками. Оценка же является смещенной, но с увеличением N

среднее выборочное дисперсии стремится к дисперсии и, как говорят, смещение асимптотически устраняется.

Представляя как сумму независимых гауссовых случайных величин, приходим к тому, что и плотность вероятности является гауссовой величиной, полностью определяемой указанными выше оценками.

Далее приводятся сведения об использовании описанного способа определения оценок для получения оценки ковариационной функции и оценки спектра мощности. О связи между спектром мощности и ковариационной функцией было уже сказано в начале этого раздела.

Ограничимся тем, что рассмотрим здесь стационарный случайный процесс при условии, что среднее его при всех Для такого процесса При этом основной оказывается в поле зрения автокорреляционная функция При принятии для всех выборочных последовательностей определение выборочного среднего по ранее указанной методике приводит к следующей оценке функции

причем .

Для дисперсии же, согласно [41, 85], получается следующее приближенное выражение:

Для гауссовой последовательности оценка с является состоятельной оценкой

Применяется также оценка автокорреляционной последовательности связанная с ранее указанной оценкой соотношением Таким образом,

при и при Будучи смещенной оценкой, она, однако, асимптотически не смещена.

При рассмотрении вопросов, связанных с оценкой спектра мощности, используется понятие периодограммы. Выражение

называемое периодограммой, принимается за оценку плотности спектра мощности.

Имеет место соотношение

где есть преобразование Фурье вещественной последовательности при Периодограмма представляет собой смещенную оценку спектра мощности.

Аналогичный вывод делается и при рассмотрении преобразования фурье оценки автокорреляционной функции. В первом случае получается выражение а во втором — выражение которые являются преобразованиями Фурье взвешенных автокорреляционных функций, образуемыми с использованием окон. Они вычисляются как свертки в частотной области с применением в первом случае преобразования фурье треугольного окна Бартлета, во втором — преобразования фурье прямоугольного окна [85]. Эти окна и их преобразования фурье были рассмотрены нами в § 7, методы вычисления сверток были описаны в § 6.

К получению выражения дисперсии периодограммы приводит анализ, который проводится поэтапно (далее приводятся краткие сведения, касающиеся этого вопроса, детально он обсуждается в книге [85]). Сначала принимается, что последовательность при представляет собой реализацию белого шума; считается, что это процесс с нулевым средним и гауссовой плотностью вероятности.

Для двух частот ковариация периодограммы

Дисперсия оценки спектра на частоте

Вьтод данных формул проведен в упоминавшейся книге [85]. Из этих формул следует, что периодограмма не является состоятельной оценкой и что значения разнесенные по на величину, кратную некоррелированы. С увеличением N дисперсия периодограммы приближается к ненулевой постоянной.

На втором этапе анализа указанные выводы обобщаются на случай гауссова небелого шума (определение белого шума было дано в гл. II; см. с. 83). Условно рассматривается линейная система — фильтр с импульсной характеристикой, короткой по сравнению с длительностью N заданной выборки, и считается, что при действии на вход такой системы белого шума на выходе ее получается небелый шум. Принимается, что квадрат частотной характеристики этой системы равен где есть спектральная плотность мощности рассматриваемого небелого гауссова процесса. Считается, что Здесь принято обозначение для ранее указанной периодограммы белого шума. Анализ этого, более общего по своему характеру случайного процесса приводит к заключению, что и для него периодограмма является несостоятельной оценкой.

Таким образом, периодограмма сама по себе не является удовлетворительной оценкой спектра. Однако разработаны методы применения периодограмм, при которых на их основе получается состоятельная оценка спектра мощности. Эти рассматриваемые далее методы выскоэффективны благодаря тому, что для определения периодограммы широко используется БПФ.

Бартлетом предложена следующая методика получения состоятельной оценки спектра мощности. Заданная при последовательность разделяется на К отрезков по выборок в каждом из них. Разделение производится таким образом, что Для каждого отрезка вычисляется своя периодограмма Исходя из того, что для величина мала, принимают, что все периодограммы взаимно независимы. При этом оценка спектра представляется в виде и ее математическое ожидание определяется как свертка истинного спектра и преобразования Фурье треугольной функции окна. При выполнении этой процедуры используется функция окна, отвечающая выборочной периодограмме. Величина определяется так, как было указано раньше: Хотя оценка Бартлета тоже смещенная, ее дисперсия, как и сама оценка, пропорциональна . С увеличением К дисперсия оценки стремится к нулю. При этом оценка оказывается состоятельной. Уменьшение дисперсии оценки Бартлета с увеличением К достигается за счет увеличения смещения, а также за счет того, что худшей становится спектральная разрешающая способность (с увеличением К уменьшается величина Описанную выше процедуру Бартлета называют усреднением периодограмм.

Модификация метода Бартлета предложена Уэлчем. Метод Уэлча отличается тем, что при разбиении выборочных данных (также на отрезков) окно используется при определении каждой из К модифицированных периодограмм до определения основной периодограммы. Вычисления оценки спектра мощности при этом тоже производятся с применением БПФ. Используются описанные в § 6 операции вычисления свертки. Методы, основанные на выполнении БПФ и операций свертки, аналогичные указанным выше, применяются также при оценке взаимной ковариации и взаимного спектра [85].

Иной подход к оценке спектра мощности указан в книге [101]. Однако и при этом в конечном счете задача решается корреляционным методом или описанным выше методом модифицированных периодограмм Узлча. Основным требованием тоже является обеспечение устойчивости оценки, понимаемое таким образом, что при увеличении интервала измерения и соответственно при увеличении N оценка должна сходиться к определенному значению. Для этого при увеличении дисперсия оценки должна стремиться к нулю.

Особенностью рассматриваемого далее подхода к оценке спектра мощности является следующее. Рассматривается -точечная случайная последовательность Спектр определяется как -преобразование в одной или в нескольких точках плоскости. Общая мощность сигнала находится путем

интегрирования спектральной плотности мощности вдоль кривой, заданной в z-плоскости. Для -точечной случайной последовательности используется теорема о комплексной свертке, на основе которой получается следующее выражение равенства Парсеваля:

В уравнении является контурным интегралом, вычисляемым по любому контуру С, охватывающему начало координат. Исходя из вышесказанного, считают, что на заданном контуре спектральная плотность мощности пропорциональна величине При измерении спектральной плотности на окружности единичного радиуса комплексно сопряженные величины, и спектральная плотность мощности определяется в этом случае как Для определения статистическим методом коэффициента пропорциональности между величиной и спектральной плотностью мощности находится среднее значение величины

равное

Методика его определения иллюстрируется примером анализа белого шума, для которого при тих при где k — постоянная величина. При этом и спектральная плотность принимается равной

Преобразования последнего выражения приводят к следующему результату. Оказывается, что спектральная плотность мощности равна z-преобразованию автокорреляционной функции.

Хотя и была представлена выше как -точечная последовательность, обычно, если иметь в виду рассматриваемые здесь приложения, последовательность неограниченная, и автокорреляционная функция

При вычислении спектральной мощности на единичной окружности, т.е. при оно определяется как преобразование Фурье, от получается . И наоборот, находится как ОДПФ от спектральной плотности.

Для двух случайных сигналов х и взаимно корреляционная функция

и аналогично тому, что было указано выше для преобразование Фурье от дает величину взаимного энергетического спектра, и, наоборот, выполнение ОДПФ от последнего позволяет получить взаимно корреляционную функцию. Хотя и здесь говорится о ДПФ и ОДПФ, обычно имеют в виду выполнение операций БПФ и обратного БПФ.

Измерение спектральной плотности шума чаще всего производится одним из следующих способов, в ходе выполнения которых обеспечивается сведение к нулю дисперсии спектральной плотности. Схемы, по которым выполняются вычислительные операции, представлены на рис. 3.16, в и 3.16, г. В первом случае конечным является определение взаимного энергетического спектра сигналов, во втором — определение взаимно корреляционной функции.

При схеме вычислений, иллюстрируемой рис. 3.16,в, используется БПФ для вычисления оценки взаимно корреляционной функции (операция 1), после чего для уменьшения эффектов, связанных с конечной длиной последовательности используется окно (операция 2) и затем путем выполнения следующего БПФ (операция 3) находится взаимный энергетический спектр. При схеме вычислений, иллюстрируемой рис. 3.16, г, для уменьшения эффектов, связанных с конечной длиной обрабатываемых последовательностей х и уже первоначально используются окна (операции 1 и 2), затем с помощью БПФ (операции 3) находится для ряда дискретных частот оценка энергетического спектра после чего при необходимости выполняется обратное БПФ (операция 4), в результате чего находится оценка взаимно корреляционной функции Указанные преобразования подробно описаны в книге [101], в которой приведены также примеры определения с помощью периодограмм характеристик зависимости от частоты спектральной плотности мощности шума на выходе фильтра нижних частот, полосового фильтра, дифференциатора. Расчеты проведены для с использованием окна Хемминга.