Ж. Примеры применения при обработке изображений преобразований Уолша, Хаара и других ортогональных преобразований.

При цифровой обработке изображений чаще всего используется преобразование Фурье. О нем упоминалось и в предшествующих разделах § 8. Вместе с тем все в большей мере применяются преобразование Уолша (обычно преобразование Уолша — Адамара) и преобразование Хаара. Этому вопросу посвящено много публикаций. Некоторые из них упоминаются здесь, на другие будут сделаны ссылки в § 10 при обзоре литературы.

Применениям преобразований Уолша при обработке изображений специально посвящены, например, работы [87, 164, 179, 190, 195, 198]. В работе [12], в которой преобразование Хаара рассмотрено как один из видов обобщенного ортогонального преобразования, отмечено, что обработка изображений относится к основным областям, в которых нашел широкое применение спектральный анализ. Преобразованиям Уолша и Хаара уделено внимание во многих работах, касающихся обработки изображений [5, 99, 135, 140, 147 и др.].

Представляет интерес сравнение условий, при которых, обрабатывая изображения, целесообразно пользоваться тем или иным видом ортогональных преобразований. В некоторых случаях рекомендуется применение преобразования Уолша наряду с преобразованием Фурье, в других отдается предпочтение какому-либо одному из них. Это можно проиллюстрировать следующими примерами. При выполнении сложных видов обработки изображений, таких, как упоминавшаяся нами ранее нелинейная обработка, направленная на изменение соотношений между различными спектральными компонентами сигнала, рекомендуется применять как преобразование Фурье, так и преобразование Уолша [140]. В указанном источнике отмечено, что в последнее время стали разрабатываться методы вычисления корреляционных функций с помощью преобразований Уолша, а в отношении подавления паразитных периодических колебаний, спектральный состав и интенсивность которых обычно заранее известны, рекомендуется следующее. Для синусоидальных периодических помех рекомендуется использование при обработке изображений базиса комплексных

экспоненциальных функций, а для периодических помех типа прямоугольных волн могут использоваться функции Уолша. В книге [99] представлены образцы одинаковых изображений, обработанных затем путем вычисления кепстров Фурье и Уолша (Адамара). В последнем случае получены лучшие результаты.

Кроме преобразований Фурье, Уолша, Хаара при обработке изображений иногда используются и другие ортогональные преобразования. К ним относятся преобразование Карунена — Лозва, дискретное косинусное преобразование, преобразование по пилообразному базису (его называют также "преобразование по наклонному базису", "слент-преобразование"). Об этих преобразованиях упоминалось уже в гл. IV.

Разложение в ряд Карунена — Лоэва полезного сигнала заданного в интервале времени от до и имеющего конечную энергию представляется следующим образом: причем а система значений представляет собой ортогональный базис Карунена — Лоэва. Отсчеты являющиеся коэффициентами ряда, имеют дисперсии составляющие энергетический ряд

На этой основе построено и дискретное преобразование Карунена — Лозва, используемое в некоторых случаях для обработки изображений. При обработке изображений, как и при рассмотренной ранее обработке речевых сигналов, одной из основных операций является уменьшение избыточной информации. Целесообразность использования здесь преобразования Карунена — Лоэва при условии, что не требуется быстрая обработка, определяется следующим. Для дискретного сигнала, содержащего N отсчетов, при его обработке с целью сжатия данных выбирается подмножество из отсчетов при значительно меньшем чем а остальные отбрасываются. Делается это так, чтобы не возникла значительная погрешность при восстановлении сигнала. Для оценки погрешности вводится в рассмотрение критерий оценки, чаще всего используется критерий среднеквадратической ошибки. Ортогональным дискретным преобразованием, являющимся оптимальным, если иметь в виду среднеквадратичный критерий, и служит преобразование Карунена — Лоэва. Более подробно это преобразование, выполняемое по собственным векторам ковариационной матрицы, описано в книге [5] (см в последней с. 182—185).

Недостатком преобразования Карунена — Лоэва, из-за которого предпочтение отдается преобразованиям Уолша, Хаара и некоторым другим ортогональным преобразованиям, является то, что для него не существуют алгоритмы быстрых преобразовний. Это уже было отмечено в п. Б при рассмотрении вопросов сокращения избыточности изображений.

Дискретное косинусное преобразование последовательности при определяется следующим образом:

и

где . Формулой обратного косинусного преобразования является

причем тоже Это ортогональное преобразование тоже используется в некоторых случаях при обработке изображений со сжатием данных.

При такой обработке изображений иногда применяется и преобразование по пилообразному базису. По оценке специалистов данное ортогональное преобразование может также эффективно использоваться для представления при цифровом моделировании изображения постепенного изменения яркости вдоль его строки и для кодирования изображений (см. [5], с. 152- 156).

Для обработки волновых полей имеет существенное значение использование дискретного преобразования Френеля. Существует также теоретико-числовое преобразование Френеля, предназначенное для применения при цифровой обработке многомерных массивов данных [28].

Основными, как уже отмечалось, и для рассматриваемой здесь области приложений являются преобразования Фурье, Уолша, Хаара. В последнее время разработаны и методы оптической реализации преобразований Хартли (ссылки на соответствующие источники даны в работе [31], указанной в дополнительном списке литературы).