В. Другие подходы к выполнению обобщенных преобразований.

Важным шагом в создании теории обобщенных преобразований явилась трактовка преобразований Уолша и Хаара как частных случаев упомянутого в разделе А преобразования Виленкина-Крестенсона. Большое значение для формирования теории обобщенных преобразований и для показа возможностей широкого применения функций Уолша имело издание книги A.M. Трахтмана и В.А. Трахтмана [100]. Рассмотренные в этой книге обобщенные преобразования основаны на использовании функций, введенных Н.Я. Виленкиным и более детально изученных Г.Е. Крестенсоном (в книге [100] сделаны ссылки на соответствующие публикации Н.Я. Виленкина (1947 г.) и Г.Е. Крестенсона (1955 г.), а также на последующую обобщающую работу Н.Я. Виленкина, напечатанную как приложение к переводу книги [44]). Применяя Виленкина-Крестенсона функции (ВКФ), авторы книги [100] поставили вопрос о том, что возможны и дальнейшие обобщения ортогональных функций. Они указали на то, что при расширении понятия ВКФ разумно потребовать, чтобы более общая система базисных функций по-прежнему была ортогональной и составляла абелеву группу. Это согласуется с тем, что было сказано в разделе Б § 4 о построении обобщенных преобразований с использованием выводов теории чисел и полиномов.

Преобразование Виленкина-Крестенсона непосредственно используется при анализе и синтезе устройств автоматики с элементами, выполняющими операции троичной и -ичной логики [42, 63]. Ознакомление с ВКФ

в этом отношении практически интересно. Приведем краткие сведения о ВКФ. Эти функции принимают комплексные значения. При анализе и синтезе устройств -значной логики используется комплексных значений. При интервале задания они представляются для любых натуральных чисел со, когда следующем виде:

где

При из формулы (4.36) при замене обозначения со на получается формула (4.3), описывающая упорядоченные по Пэли функции Уолша. Этим подтверждается ранее сказанное о том, что функции Уолша представляют собой частный вид функций Виленкина-Крестенсона. При вводя обозначения получим значения указанные в табл. 4.12. В книге [42] рассмотрено также подмножество которое может рассматриваться как обобщение

Таблица 4.12 (см. скан)

функций Радемахера (приведены формула, с помощью которой описываются обобщенные таким образом функции Радемахера, и таблица значений этих функций при тех же, что и указанные выше, значениях

Ранее были указаны лишь некоторые из наметившихся подходов, вообще же существует много различных трактовок вопросов обобщения методов ортогональных преобразований. Соответственно с этим делаются и различные практические рекомендации. Укажем здесь некоторые из работ, в которых описаны обобщенные методы; в § 6 сделаем ссылки также и на другие работы.

Общая постановка вопроса сформулирована в книгах [99, 100]. В книгах [77, 89, 90, 91] предложены обобщенные методы выполнения преобразования Уолша и других ортогональных преобразований, которые могут использоваться при расчете как стационарных (с постоянными параметрами), так и нестационарных (с переменными параметрами) систем управления. Введены понятия нестационарных ортонормированных функций и нестационарных спектральных характеристик функций времени: непрерывных, дискретных, непрерывно-дискретных. Рассмотрены нестационарные характеристики функций Уолша, Хаара и тригонометрических функций.

На основе дальнейшего исследования функций Виленкина-Крестенсона автором книги [70] разработана теория спектрального анализа -ичных нестационарных систем. Сравнены характеристики, получаемые при использовании преобразований Фурье и Уолша. Эти результаты получены наряду с результатами, относящимися к применению функций Уолша (описана процедура быстрого преобразования Уолша, развит применительно к преобразованиям Уолша метод быстрых итерационных процедур вычисления, указана методика спектральной оценки случайных процессов)

В книге [8] показано, что методы обобщенного представления различных упорядочений функций Уолша и функций Хаара могут быть эффективным образом использованы при описании различных ортогональных преобразований, в числе которых рассмотрены преобразования Карунена-Лоэва, пилообразное преобразование, по-другому называемое слэнт-преобразованием, и косинусное преобразование, о котором будет сказано дополнительно в гл. V. Дальнейшее развитие этих методов отражено в книге [157].

В книге [49] дана обобщенная алгебраическая трактовка вопросов цифровой обработки сигналов. Отмечено, что быстрые преобразования Фурье, Уолша и другие быстрые ортогональные преобразования могут эффективно выполняться на основе использования обобщающих теоретико-групповых представлений. Обобщенным методам изучения нелинейных систем посвящены работы [50, 53].

При оценке эффективности использования различных базисов ортогональных преобразований разными способами группируются отдельные виды преобразований. В работе [2] предложено разделять все известные ортогональные преобразования на два класса: с равномерно ограниченными функциями (например, к этому классу относятся преобразования Фурье, Уолша, Виленкина-Крестенсона) и с неравномерно

ограниченными функциями (примером функций этого вида являются функции Хаара).

Сравнительный анализ различных ортогональных преобразований приводит к практически важным выводам. Так, в работе [125] на основе сравнительного анализа ортогональных преобразований в базисах Уолша, Хаара,Фурье показана возможность создания нового алгоритма ДПФ, обладающего достоинствами, получаемыми при преобразованиях Хаара и Уолша.

При описании ортогональных преобразований и в практике их применения широко используются матрицы. Матричный метод сформировался и как метод обобщенного представления быстрых алгоритмов ортогональных преобразований. Этот вопрос рассмотрим более подробно в § 5.