§ 2. Ряд Фурье и интегральные преобразования Фурье

А. Начальные сведения. Любая периодическая функция ограниченная, кусочно-гладкая может быть разложена в ряд Фурье 1)

где

есть основная круговая частота, определяемая величиной периода повторения,

есть среднее значение функции в интервале от до

Согласно формуле (2.1) функция представляется в виде суммы константы и гармоник, частота первой из которых (основная) второй третьей и т.д. Число к гармоник в разложении (2.1) бесконечно большое, однако чаще всего для достаточно полного представления функции практически можно взять лишь несколько первых гармоник. Это было проиллюстрировано рис. 1.3,а и 1.3,г.

Для апериодических процессов разложение в ряд Фурье заменяется разложением в интеграл Фурье

где

Формулами (2.8) и (2.9) можно пользоваться при условии, что функция абсолютно интегрируемая, т.е.

Преобразования, определяемые формулами (2.8) и (2.9), являются интегральными преобразованиями Фурье. Иногда, говоря об интегральном преобразовании Фурье функции имеют в виду только формулу (2.9) и оставляют название "интеграл Фурье" для выражения Часто функцию просто называют преобразованием фурье функции опуская слово "интегральное", или называют выражение (2.9) выражением спектральной плотности функции или же комплексным спектром зтой функции. В нёкоторых случаях для формул (2.9) и (2.8) применяют следующие названия: формула прямого преобразования Фурье и формула обратного преобразования Фурье. Используются и другие названия, о которых скажем позднее.

Об отсутствии единой терминологии уже упоминалось в гл. В зависимости от того, что будет более удобным, мы будем пользоваться различными терминами, следя лишь за тем, чтобы это не могло вызвать у читателя непонимания.

Рассмотрим некоторые другие, тоже применяемые в теории и в прикладной области формы записи ряда Фурье для периодических функций и записи интегральных преобразований Фурье для апериодических функций Вместе с тем укажем, как получаются рассматриваемые формулы.

Б. Формы записи основных формул. Вывод формул. Заменяя в формуле имеем следовательно, можно представить в виде

В формуле (2.1) выражение гармоники может быть также преобразовано таким образом:

причем величины связаны с величинами соотношениями (2.4) и (2.5), из которых следует, что из выражений же (2.3) и (2,6) следует

При этом формула ряда Фурье принимает следующий вид:

где коэффициенты, определяемые из выражений (2.6) и (2.7).

Для вывода формулы ряда Фурье нужно лишь показать, как получаются эти выражения. Вывод разбиваем на две части. Сначала получим значения коэффициентов разложения в ряд заданной на отрезке функции

Умножаем обе части уравнения (2.13) на и интегрируем по в пределах от до Затем умножаем обе части уравнения (2.13) на и таким же образом выполняем операцию интегрирования. Заданные на отрезке базисные функции

образуют систему ортогональных функций (см. определение ортогональных функций на с. 18 в гл. I), причем

Благодаря этому при умножении на любую из указанных базисных функций обеих частей равенства (2.13) и последующем интегрировании в указанных пределах в правой части уравнения остается только соответствующий коэффициент, умноженный на Таким образом, получаются

выражения коэффициентов ряда (2.13):

Для того чтобы перейти от задания в интервале к его заданию в интервале производим замену переменных, принимая

(естественно, при этом Вводим обозначение

Из соотношения (2.15) следует, что функция определена в промежутке тогда, когда функция определена в промежутке Разложение функции в ряд дает

С использованием обозначений (2.15) и при введении обозначения по (22) получаем выражения (2.6), (2.7) коэффициентов и выражение соответствии с (2.3).

Применяется также запись ряда Фурье в комплексной форме, получаемая при замене тригонометрических функций показательными с введением в рассмотрение комплексных величин. Для такой замены используются формулы Эйлера

из которых следует

Заменяя таким образом в формуле и приходим к следующему выражению ряда Фурье:

где

За тем, как получаются эти формулы, нетрудно проследить, имея в виду что

Вводя в рассмотрение комплексно сопряженные величины

приводим выражение (2.12) к виду

где

Так как является нечетной функцией от к (см, (2.7)), то

Тогда, производя суммирование по от до , включая и (т.е. учитывая и член ряда), приходим к формуле (2.19). Выражение (2,20) получается при подстановке в значений из (2,6) и (2.7) и использовании второй из формул (2.17).

Сравним величины коэффициентов в выражениях разложения функции в ряд Фурье при тригонометрической и комплексной формах представления ряда. Обратимся к уравнениям (2.11) и (2,19). Из сделанных ранее выводов следует, что в том и другом случае должны быть совпадающими значения Сравнивая одно и другое из указанных уравнений, сразу же обнаруживаем, что при имеет место равенство т.е. Сравнение коэффициентов данных уравнений при произвольном к приводит к следующим выводам. Коэффициент в уравнении (2,19) определяется как величина, являющаяся суммой соответствующих составляющих при положительной и отрицательной где абсолютная величина к (этот вопрос подробно рассмотрен на с. 31—34 книги [36]). При зтом получаем, что для всех k.

Рис, 2.1, а и 2.1, б показывают, как при переходе от тригонометрической к комплексной форме ряда Фурье с искусственным введением рассмотрение области отрицательных частот уменьшаются в два раза амплитудные значения коэффициентов разложения. Для полного представления о

Рис. 2.1

ряде должны быть учтены и фазы, учитываемые в уравнении (2.11) величиной

Укажем далее, как получены формулы (2.8) и (2.9) интегральных преобразований Фурье,

При подстановке значения из формулы (220) в формулу (2,19) находим, что

Правая часть (2.22) является приближенной интегральной суммой для интеграла

В курсах математики (см, например, с. 501—502 книги [112]) доказывается, что при сумма (2.22) сходится к указанному интегралу.

В. Иные представления интегральных преобразований Фурье. Кроме ранее указанных используются также и другие, рассматриваемые дальше формы записи интеграла Фурье и спектральной плотности

Прежде чем указать видоизмененные формы интеграла Фурье (2,8), напомним, что является комплексной величиной и, следовательно, она может быть представлена в виде

или

где соответственно вещественная и так называемая мнимая части и модуль и ее фаза. При этом

Изображение на комплексной плоскости при некотором фиксированном значении иллюстрируется рис, 2.1,в. Интеграл Фурье можно записать в виде

или, в другой форме, 1

где есть вещественная часть интеграла о

Покажем, как получаются формулы (226) и (227). Для вывода формулы (2.26) нужно лишь подставить в формулу (2,8) вместо функции ее выражение (2.23) и вместо подставить

В справедливости формулы (2.27) убеждаемся, проведя следующие рассуждения. Преобразуем исходное выражение (2.8) интеграла Фурье

В подынтегральном выражении первое и второе слагаемые — комплексные сопряженные величины, сумма которых равна удвоенной вещественной части каждой из них. Учитывая это, получаем формулу (2.27).

Иногда вводят одинаковый множитель перед интегралом в формулах (2.8) и (2.9). При зтом остается неизменным развернутое выражение интеграла Фурье

Множитель иногда опускают.

В тех случаях, когда при формула (2.9) принимает следующий вид:

Такое преобразование Фурье называют односторонним, в отличие от преобразования (2.9), называемого двусторонним. Дня того и другого интеграл Фурье представляется в виде (2.8).

Если при то оказывается возможной запись интеграла Фурье также в виде

или

Для вывода формул (2.30) и (2.31) используется представление (2.26):

Так как в рассматриваемом случае при подстановка в уравнение вместо величины - дает

Складывая левую и правую части последнего равенства соответственно с левой и правой частями равенства (2.26) и учитывая, что является четной функцией переменной со, получаем формулу (2.30). Заменяя при выполнении указанных действий сложение вычитанием и принимая во внимание, что тоже является четной функцией переменной приходим к формуле (2.31).

Г. Свойства интегрального преобразования Фурье. Используются следующие свойства преобразования Фурье. Если и преобразованиями Фурье функций являются соответственно то

Имея в виду данный вывод, говорят о том, что для функций соблюдается принцип суперпозйции.

При условии, что есть преобразование Фурье функции преобразованием Фурье функции запаздьшающей на величину относительно (см. рис. 2.1,г), служит

Это равенство известно как теорема запаздывания. В соответствии с

Дня функции преобразование Фурье определяется как

Таким образом, если есть преобразование Фурье функции , то смещение частоты на величину приводит к получению преобразования Фурье для функции Данный вывод называют теоремой смещения.

Если являются преобразованиями Фурье функций то для функции имеем

Здесь

Выражение вида

называется сверткой функций При находим, что

Заменяя на , причем уже не считается, что получаем

или

где есть комплексная величина, сопряженная с величиной так что

Свертке функций отвечает

где являются преобразованиями Фурье функций Этот вывод известен иод названием теоремы свертывания.

Для производной функции такой, что при преобразование Фурье

где преобразование Фурье функции производной функции отвечает равенство

при условии, что и все ее производные до равны нулю при

Если является преобразованием Фурье функции такой, что то преобразованием Фурье функции служит

где знак в индексе указывает на особенность преобразования этого вида. Укажем, как получаются эти формулы. Формула (2.33) получается прямо при подстановке в исходную формулу (2.9).

Для вывода формулы (2.34) нужно лишь подставить в формулу вместо где постоянная величина. Вводя обозначение причем получаем

и, так как приходим к формуле (2.34).

Соотношение (2.36) следует непосредственно из того, что

Для вывода формулы (2.38) выполняем следующие преобразования, основанные на использовании формул (2.8) и (2.9). Имеем

Преобразуем полученное равенство

вводя новые обозначения для некоторых из рассматриваемых величин:

Принимаем Согласно формуле (2.36) при введенных обозначениях Тогда

Получена формула (2.38).

Правую часть выражения (2.39) получаем, производя в левой его части замену переменных со причем Знак в последнем равенстве несуществен, так как производится интегрирование в пределах от до 00.

Укажем далее, как получается формула (2.42). Подставляем в формулу (2.9) преобразования Фурье

Вводим обозначения причем и под знаком второго интеграла Получаем

и, следовательно, приходим к формуле (2.42).

Формула (2.43) выводится следующим образом. Выражение преобразуем, используя формулу интегрирования по частям:

Первое слагаемое равно нулю ввиду того, что, как было оговорено, при Второе слагаемое представляет собой правую часть уравнения (2.43). Аналогичным способом, но лишь при проведении последовательных интегрирований по частям получается выражение

Дня вывода формулы (2.44) интегрируем по частям правую часть уравнения

принимая во внимание оговоренное условие равенства нулю интеграла